Признак делимости на 6, примеры, доказательство.
Продолжим знакомство с признаками делимости. Сейчас мы изучим признак делимости на 6. Сначала приведем его формулировку. Дальше рассмотрим примеры применения признака делимости на 6. После этого докажем признак делимости на 6. В заключение остановимся на примерах, в которых доказывается делимость на 6 значений некоторых выражений.
Признак делимости на 6, примеры
Формулировка признака делимости на 6 объединяет в себе признак делимости на 2 и признак делимости на 3. Она такова: если запись целого числа оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6 или 8, а также сумма цифр в записи числа делится на 3, то такое число делится на 6; если же нарушено хотя бы одно из указанных условий, то число не делится на 6. Другими словами, целое число делится на 6 тогда и только тогда, когда это число делится на 2 и на 3.
Итак, признак делимости на 6 применяется в два этапа:
- На первом этапе проверяется делимость числа на 2. Для этого рассматривается последняя цифра в записи числа. Если запись числа оканчивается цифрой 2, то это число делится на 2, и для дальнейшей проверки его делимости на 6 переходим ко второму этапу. Если же последняя цифра в записи числа отлична от 0, 2, 4, 6 или 8, то число не делится на 2, следовательно, не делится и на 6.
- На втором этапе проверяется делимость числа на 3. Для этого вычисляется сумма цифр исходного числа и проверяется, делится ли она на 3 (например, при помощи признака делимости на 3). Если сумма цифр делится на 3, то число делится на 3, и, учитывая его делимость на 2 (установленную на предыдущем этапе), можно делать вывод о делимости числа на 6. Если же сумма цифр исходного числа не делится на 3, то это число не делится на 3, следовательно, не делится и на 6.
Теперь можно рассмотреть конкретные примеры применения признака делимости на 6.
Пример.
Делится ли число 8 813 на 6?
Решение.
Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся признаком делимости на 6. Так как запись числа 8 813 оканчивается цифрой 3, то можно делать вывод, что число 8 813 на 6 не делится.
Ответ:
нет.
Пример.
Возможно ли разделить 934 на 6 без остатка?
Решение.
Число 934 оканчивается цифрой 4, поэтому первое условие признака делимости на 6 выполняется. Проверим, делится ли сумма цифр числа 934 на 3. Имеем 9+3+4=16, а 16 на 3 не делится. Следовательно, второе условие признака делимости на 6 не выполняется, поэтому исходное число на 6 не делится.
Ответ:
нет.
Пример.
Делится ли число −7 269 708 на 6?
Решение.
Последней цифрой в записи данного числа является 8, значит первое условие признака делимости на 6 выполнено. Теперь находим сумму цифр числа −7 269 708, имеем 7+2+6+9+7+0+8=39. Так как 39 делится на 3 (39:3=13), то можно делать вывод о делимости исходного числа на 6.
Ответ:
да, делится.
В заключение этого пункта отметим, что для проверки делимости заданного числа на 6 можно выполнить деление непосредственно, а не прибегать к признаку делимости на 6.
Доказательство признака делимости на 6
Приведем доказательство признака делимости на 6. Для удобства используем формулировку этого признака в форме необходимого и достаточного условия.
Теорема.
Для делимости целого числа a на 6 необходимо и достаточно, чтобы число a делилось на 2 и на 3.
Доказательство.
Сначала докажем необходимость, то есть докажем, что если целое число a делится на 6, то оно делится на 2 и на 3.
Для этого нам понадобится следующее свойство делимости: если целое число a делится на b, то произведение m·a, где m – любое целое число, тоже делится на b.
Так как a делится на 6, то понятие делимости позволяет нам записать равенство a=6·q, где q – некоторое целое число. В записанном произведении множитель 6 делится и на 2 и на 3, тогда из указанного выше свойства делимости следует, что произведение 6·q делится и на 2 и на 3. Этим доказана необходимость.
Чтобы признак делимости на 6 оказался полностью доказанным, осталось доказать достаточность. Докажем, что если целое число a делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.
Здесь нам потребуется теорема из статьи основная теорема арифметики. Вот ее формулировка: если произведение нескольких целых положительных и отличных от единицы множителей делится на простое число p, то хотя бы один множитель делится на p.
Так как целое число a делится на 2, то существует такое целое число q, что a=2·q. Но целое число a=2·q делится и на 3, откуда 2·q должно делиться на 3. Так как 2 на 3 не делится, то в силу указанной выше теоремы на 3 должно делиться q. Тогда существует такое целое число q1, что q=3·q1. Следовательно, a=2·q=2·3·q1=6·q1. Из полученного равенства следует делимость числа a на 6. Этим доказана достаточность.
Другие случаи делимости на 6
В этом пункте мы остановимся на способах доказательства делимости на 6 значения заданного выражения с переменными при указанном значении переменной. В этих случаях (когда целое число задано не в явном виде) непосредственное деление и применение признака делимости на 6 часто невозможно, поэтому нужен другой подход к решению.
Один из подходов основан на утверждении: если один из целых множителей в произведении делится на заданное число, то и все произведение делится на это число. То есть, если заданное выражение представить в виде произведения, в котором один из множителей будет делиться на 6, то этим будет доказана делимость на 6 исходного выражения. Осталось обговорить способы представления в виде произведения.
Иногда представить заданное выражение в виде нужного произведения позволяет формула бинома Ньютона. Рассмотрим пример.
Пример.
Делится ли на 6 значение выражения 
при некотором натуральном n.
Решение.
Число 7 равно сумме 6+1, поэтому 
. Теперь применим формулу бинома Ньютона, после чего проведем необходимые преобразования:
Так мы пришли к произведению, которое делится на 6, так как оно содержит множитель 6, а значение выражения в скобках является натуральным числом при любом натуральном n (так как сумма и произведение натуральных чисел есть натуральное число). Следовательно, значение исходного выражения при любом натуральном n делится на 6.
Ответ:
да.
Если выражение задано в виде многочлена, то иногда получить произведение с множителем, делящимся на 6, позволяет разложение многочлена на множители. После чего переменной n в полученном разложении придаются значения n=6·m, n=6·m+1, n=6·m+2, …, n=6·m+5, где m – целое число. Если будет показана делимость при каждом таком n, то этим будет доказана делимость исходного выражения на 6 при любом целом n.
Пример.
Докажите, что при любом целом n значение выражения 
делится на 6.
Решение.
Разложение на множители данного выражения имеет вид 
.
При n=6·m имеем 
. В полученном произведении содержится множитель 6, поэтому оно делится на 6 при любом целом m.
При n=6·m+1 имеем
Полученное произведение также делится на 6.
При n=6·m+2 получаем
Очевидно, полученное выражение делится на 6.
Аналогично при n=6·m+3, n=6·m+4 и n=6·m+5 мы придем к выражениям, которые делятся на 6 при любом целом m.
Следовательно, значение исходного выражения делится на 6 при любом целом n.
Другим подходом к доказательству делимости на 6 выступает метод математической индукции. Рассмотрим его применение на примере. Возьмем условие из первого примера, разобранного в начале этого пункта.
Пример.
Докажите, что при любом натуральном n значение выражения делится на 6.
Решение.
Доказательство проведем методом математической индукции. Выполним все необходимые шаги этого метода.
Проверим, что при n=1 значение выражения делится на 6. Имеем 
, а 6 делится на 6.
Предположим, что при n=k значение исходного выражения делится на 6, то есть, будем считать, что 
делится на 6.
Осталось доказать, что при n=k+1 значение выражения делится на 6. Докажем, что 
делится на 6, учитывая, что делится на 6. Для этого проведем следующие преобразования:
Первое слагаемое в полученной сумме делится на 6, так как делится на 6. Второе слагаемое в полученной сумме тоже делится на 6, так как содержит множитель 6. Следовательно, вся сумма делится на 6.
Так методом математической индукции доказано, что значение выражения делится на 6 при любом натуральном n.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Виноградов И.М. Основы теории чисел.
- Михелович Ш.Х. Теория чисел.
- Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.