Делимость, признаки делимости

Признак делимости на 5, примеры, доказательство.


Признак делимости на 5 продолжает серию статей о признаках делимости. Здесь приведена формулировка признака делимости на 5, показано его доказательство и разобраны примеры, в которых устанавливается делимость на 5 заданных целых чисел с помощью указанного признака.


Признак делимости на 5, примеры

Начнем с формулировки признака делимости на 5: если в записи целого числа справа находится цифра 0 или 5, то такое число делится на 5, если же справа в записи числа стоит другая цифра, то такое число не делится на 5.

Озвученный признак делимости позволяет очень легко устанавливать способность данного числа делиться на 5. Следует отметить, что использование признака делимости на 5 приводит к результату быстрее, чем непосредственное деление.

Число 0 делится на 5, так как нуль делится на любое целое число (смотрите свойства делимости). Из однозначных натуральных чисел на 5 делится лишь число 5, а числа 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 и 9 не делятся на 5 без остатка.

Рассмотрим примеры применения признака делимости на 5.

Пример.

Какие из чисел 74, −900, 10 000, −799 431, 355, −5 делятся на 5?

Решение.

Записи чисел 74 и −799 431 оканчиваются цифрами 4 и 1, поэтому признак делимости на 5 позволяет утверждать, что эти числа не делятся на 5 нацело. А записи чисел −900, 10 000, 355 и −5 оканчиваются цифрами 0 и 5, поэтому эти числа делятся на 5.

Ответ:

−900, 10 000, 355 и −5 делятся на 5.

Доказательство признака делимости на 5


Переформулируем признак делимости на 5 в виде необходимого и достаточного условия делимости на 5, и докажем его.

Теорема.

Для делимости целого числа a на 5 необходимо и достаточно, чтобы запись числа a оканчивалась цифрой 0 или 5.

Доказательство.

Сначала докажем вспомогательное утверждение: произведение a1·10, где a1 – целое число, делится на 5.

Число 10 делится на 5, так как 10=5·2, тогда произведение a1·10 тоже делится на 5 в силу следующего свойства делимости: если целое число a делится на целое число b, то произведение m·a, где m – любое целое число, делится на b.

Теперь переходим к доказательству теоремы.

Правило умножения на 10 позволяет любое целое число a, запись которого оканчивается нулем, представить в виде a=a1·10, где число a1 получается из числа a, если в его записи справа убрать цифру 0. Если же в записи числа a справа находится произвольная цифра a0 (a0 – это 0 или 1, или 2, …, или 9), то a можно представить в виде a=a1·10+a0. Для пояснения приведем пример такого представления: 54 327= 5 432·10+7.

Дальнейшее доказательство основано на следующем свойстве делимости: если в равенстве a=s+t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b, то и этот один член делится на b.

В равенстве a=a1·10+a0 произведение a1·10 делится на 5 (что мы показали в начале теоремы). Если a0 делится на 5 (что возможно, если a0=0 или a0=5), то по указанному свойству делимости на 5 делится и число a. Этим доказана достаточность. С другой стороны, если a делится на 5, то по указанному свойству делимости и a0 делится на 5. Так доказана необходимость.

Другие случаи делимости на 5

В этом пункте мы рассмотрим задачи, в которых требуется выяснить, делится ли значение некоторого выражения на 5. Начнем с примера, в котором получить решение позволяет признак делимости на 5.

Пример.

Делится ли на 5 значение выражения 102·n−5 при некотором натуральном n?

Решение.

При n=1 имеем 102·1−5=95, при n=2102·2−5=9 995, при n=3102·3−5=999 995, … Очевидно, что при любом натуральном n значение выражения 102·n−5 представляет собой число, запись которого оканчивается цифрой 5. Таким образом, в силу признака делимости на 5 можно говорить о делимости 102·n−5 на 5 при любом натуральном n.

Ответ:

да.

Более строгое доказательство делимости на 5 позволяет проводить метод математической индукции. Докажем с его помощью, что при любом натуральном n значение выражения делится на 5.

Пример.

Докажите, что делится на 5 при любом натуральном n.

Решение.

Выполним все шаги метода математической индукции.

Проверим, что при n=1 значение выражения делится на 5. Имеем , а 30 делится на 5, так как 30=5·6.

Предположим, что при n=k значение выражения делится на 5, то есть, будем считать, что делится на 5.

Докажем, что при n=k+1 делится на 5.

Имеем

Мы пришли к разности, в которой выражение делится на 5, так как на предыдущем шаге мы предположили, что делится на 5, и выражение тоже делится на 5, так как содержит множитель 5. Следовательно, вся разность делится на 5 в силу свойств делимости.

Так методом математической индукции доказано, что делится на 5 при любом натуральном n.

Этот же пример можно было решить, воспользовавшись формулой бинома Ньютона. Бином Ньютона позволяет представлять подобные выражения в виде произведения, и если при этом хотя бы один из множителей будет делиться на 5, то и все произведение будет делиться на 5 в силу соответствующего свойства делимости.

Пример.

Делится ли на 5 при натуральных n?

Решение.

Представим 6 как 5+1 и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Полученное произведение делится на 5 при любом натуральном n, так как содержит множитель 5, а значение выражения в скобках представляет собой натуральное число.

Ответ:

да, делится.

В заключение рассмотрим еще один подход, позволяющий доказать делимость на 5 значения выражения при некотором n. Если показать, что исходное выражение делится на 5 при n=5·m, n=5·m+1, n=5·m+2, n=5·m+3 и n=5·m+4, m – целое число, то этим будет доказана делимость на 5 при любом целом n.

Пример.

Докажите, что n5−n делится на 5 при любом целом n.

Решение.

Исходное выражение мы легко можем разложить на множители: n5−n=n·(n4−1)=n·(n2−1)·(n2+1)=n·(n−1)·(n+1)·(n2+1).

Первый множитель n при n=5·m делится на 5, следовательно, и все произведение делится на 5.

При n=5·m+1 множитель n−1=5·m делится на 5, откуда следует делимость на 5 всего произведения n·(n−1)·(n+1)·(n2+1).

При n=5·m+2 множитель n2+1 равен соответственно 25·m2+20·m+5=5·(5·m2+4·m+1). Очевидно, он делится на 5, следовательно, на 5 делится и все произведение n·(n−1)·(n+1)·(n2+1).

При n=5·m+2 множитель n2+1 равен соответственно 25·m2+20·m+5=5·(5·m2+4·m+1). Очевидно, он делится на 5, следовательно, на 5 делится и все произведение n·(n−1)·(n+1)·(n2+1).

Наконец, при n=5·m+4 множитель n+1 равен 5·m+5 делится на 5, поэтому, и все произведение n·(n−1)·(n+1)·(n2+1) делится на 5.

Таким образом, n5−n=n·(n−1)·(n+1)·(n2+1) делится на 5 при любом целом n.

Список литературы.

  • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Виноградов И.М. Основы теории чисел.
  • Михелович Ш.Х. Теория чисел.
  • Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Некогда разбираться?

Закажите решение