Признак делимости на 4, примеры, доказательство.
Продолжаем изучать признаки делимости. В этой статье разобран признак делимости на 4. Сначала дана его формулировка и приведены примеры использования. Дальше показано доказательство признака делимости на 4. В заключение рассмотрены подходы, позволяющие доказывать делимость на 4 чисел, заданных в виде значения буквенного выражения.
Признак делимости на 4, примеры
Чтобы проверить, делится ли на 4 данное однозначное натуральное число, проще всего выполнить деление непосредственно, из однозначных чисел на 4 делятся только 4 и 8. Разделить двузначное натуральное число на 4 также не составит труда (даже при устном делении). Например, 24 делится на 4 без остатка, так как 24:4=6, а 83 не делится нацело на 4, так как 83:4=20 (ост. 3) (при необходимости смотрите статьи правила и примеры деления натуральных чисел и правила и примеры деления натуральных чисел с остатком). Но чем больше цифр содержится в записи числа, тем «неприятнее» проводить деление.
Для более простой проверки делимости данного многозначного числа существует признак делимости на 4, который сводит исследование данного числа a на его способность делиться на 4 к проверке на делимость однозначного или двузначного числа. Приведем формулировку этого признака. Целое число a делится на 4, если число, составленное из двух последних цифр в записи числа a (в порядке их следования) делится на 4; если же составленное число не делится на 4, то и число a не делится на 4.
Рассмотрим примеры применения признака делимости на 4.
Пример.
Какие из чисел −98 028, 7 612 и 999 888 777 делятся на 4?
Решение.
Воспользуемся признаком делимости на 4.
Две последние цифры целого отрицательного числа −98 028 дают число 28, так как 28 делится на 4 (28:4=7), то и число −98 028 делится на 4.
Две последние цифры числа 7 612 составляют число 12, а 12 делится на 4 (12:4=3), следовательно, 7 612 делится на 4.
Наконец, две последние цифры числа 999 888 777 дают число 77, так как 77 не делится нацело на 4 (77:4=19 (ост.1)), то и исходное число не делится на 4.
Ответ:
−98 028 и 7 612.
А как применять признак делимости на 4, если две последние цифры в записи числа представляют собой, например, 01, 02, 03, …, 09? В этих случаях цифру 0, стоящую слева, нужно отбросить, после чего останется однозначное число 1, 2, 3, …, 9.
Пример.
Делится ли числа 75 003 и −88 108 на 4?
Решение.
Посмотрим на две последние цифры в записи числа 75 003 - видим 03, отбрасываем нуль слева и имеем число 3. Так как 3 не делится на 4, то по признаку делимости на 4 можно сделать вывод о том, что 75 003 не делится на 4.
Аналогично две последние цифры в записи числа −88 108 составляют число 8, а так как 8 делится на 4, то и число −88 108 делится на 4.
Ответ:
75 003 не делится на 4, а −88 108 – делится.
Отдельно нужно сказать о числах, в записи которых справа две подряд цифры (или большее их количество) являются нулями. Приведем примеры таких чисел: 100, 893 900, 40 000, 373 002 000 и т.п. Такие числа делятся на 4. Обоснуем это.
Число 100 делится на 4. Действительно, 100:4=25. Правило умножения числа на 100 позволяет представить любое другое целое число a, запись которого оканчивается двумя нулями, в виде произведения a1·100, где число a1 получается из числа a, если в его записи справа отбросить два нуля. Например, 588 300=5 883·100 и 30 000=300·100. А произведение a1·100 делится на 4, так как содержит множитель 100, который делится на 4 (смотрите свойства делимости). Так доказано, что любое целое число, в записи которого справа находятся два нуля, делится на 4.
Доказательство признака делимости на 4
Для доказательства признака делимости на 4 нам понадобится следующее представление натурального числа a. Любое натуральное число a можно представить в виде a=a1·100+a0, где число a1 получается из числа a, если в его записи убрать две последние цифры, а число a0 отвечает двум последним цифрам в записи числа a. Например, 5 431=54·100+31. Если же число a однозначное или двузначное, то a=a0.
Также нам пригодятся два свойства делимости:
- чтобы целое число a делилось на целое число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на модуль числа b;
- если в равенстве a=s+t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b, то и этот один член делится на b.
Теперь можно привести доказательство признака делимости на 4, который мы предварительно переформулируем в виде необходимого и достаточного условия делимости на 4.
Теорема.
Для делимости целого числа a на 4 необходимо и достаточно, чтобы число, отвечающее двум последним цифрам в записи числа a, делилось на 4.
Доказательство.
Для a=0 теорема очевидна.
Для остальных целых a модуль числа a есть число положительное, и его можно представить как 
, о чем мы сказали перед теоремой.
В конце первого пункта данной статьи мы показали, что произведение a1·100 всегда делится на 4. Если еще учесть приведенные перед теоремой свойства делимости, то приходим к следующим выводам.
Если число a делится на 4, то и модуль числа a делится на 4, тогда из равенства следует делимость на 4 числа a0. Этим доказана необходимость.
С другой стороны из делимости a0 на 4 и равенства следует делимость на 4 модуля a, откуда следует делимость на 4 и самого числа a. Этим доказана достаточность.
Другие случаи делимости на 4
Иногда требуется проверить делимость на 4 целого числа, которое задано в виде значения некоторого выражения. В таких случаях провести непосредственное деление не представляется возможным. Также использование признака делимости на 4 возможно далеко не всегда. Как же быть в этих случаях?
Основная идея состоит в приведении исходного выражения к произведению нескольких множителей, один из которых делится на 4. В этом случае на основании соответствующего свойства делимости можно будет сделать вывод о делимости исходного выражения на 4.
Иногда получить такое представление помогает формула бинома Ньютона. Приведем пример для пояснения.
Пример.
Делится ли на 4 значение выражения 
при некотором натуральном n?
Решение.
Представим 9 как 8+1, после чего воспользуемся формулой бинома Ньютона:
Полученное произведение делится на 4, так как содержит множитель 4, а выражение в скобках представляет собой натуральное число. Следовательно, делится на 4 при любом натуральном n.
Ответ:
да.
Достаточно часто доказать делимость на 4 некоторого выражения позволяет метод математической индукции. Покажем, как это делается, воспользовавшись условием предыдущего примера.
Пример.
Докажите, что делится на 4 при любом натуральном n.
Решение.
Покажем, что при n=1 значение выражения делится на 4. Имеем 
, а 4 делится на 4.
Предположим, что делится на 4 при n=k, то есть, будем считать, что 
делится на 4.
Докажем, что делится на 4 при n=k+1, учитывая, что делится на 4.
.
В полученной сумме первое слагаемое 
делится на 4, так как мы предположили, что делится на 4. Второе слагаемое 
также делится на 4, так как содержит множитель 4. Следовательно, вся сумма делится на 4.
Так методом математической индукции доказано, что делится на 4 при любом натуральном n.
Еще один подход к доказательству делимости некоторого выражения на 4 заключается в следующем. Если показать, что значение заданного выражения (с переменной n) при n=4·m, n=4·m+1, n=4·m+2 и n=4·m+3, где m – целое число, делится на 4, то этим будет доказана делимость исходного выражения на 4 для любого целого числа n.
Пример.
Докажите, что значение выражения 
при любом целом n делится на 4.
Решение.
При n=4·m имеем . В этом произведении содержится множитель 4, а остальные множители являются целыми числами, поэтому все произведение делится на 4.
При n=4·m+1 имеем
В полученном произведении содержится множитель 4, поэтому оно делится на 4.
При n=4·m+2 получаем
В этом произведении содержится множитель 8, делящийся на 4, поэтому все произведение делится на 4.
При n=4·m+3 имеем
Полученное произведение делится на 4, так как содержит множитель 4.
Так доказана делимость исходного выражения на 4 при любом целом n.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Виноградов И.М. Основы теории чисел.
- Михелович Ш.Х. Теория чисел.
- Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.