Делимость, признаки делимости

Признак делимости на 3, примеры, доказательство.


Серию статей о признаках делимости продолжает признак делимости на 3. В этой статье сначала дана формулировка признака делимости на 3, и приведены примеры применения этого признака при выяснении, какие из данных целых чисел делятся на 3, а какие – нет. Дальше дано доказательство признака делимости на 3. Также рассмотрены подходы к установлению делимости на 3 чисел, заданных как значение некоторого выражения.


Признак делимости на 3, примеры

Начнем с формулировки признака делимости на 3: целое число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3, если же сумма цифр данного числа не делится на 3, то и само число не делится на 3.

Из приведенной формулировки понятно, что признаком делимости на 3 не удастся воспользоваться без умения выполнять сложение натуральных чисел. Также для успешного применения признака делимости на 3 нужно знать, что из всех однозначных натуральных чисел на 3 делятся числа 3, 6 и 9, а числа 1, 2, 4, 5, 7 и 8 – не делятся на 3.

Теперь можно рассмотреть простейшие примеры применения признака делимости на 3. Выясним, делится ли на 3 число −42. Для этого вычисляем сумму цифр числа −42, она равна 4+2=6. Так как 6 делится на 3, то в силу признака делимости на 3 можно утверждать, что и число −42 делится на 3. А вот целое положительное число 71 на 3 не делится, так как сумма его цифр равна 7+1=8, а 8 не делится на 3.

А делится ли на 3 число 0? Чтобы ответить на этот вопрос, признак делимости на 3 не понадобится, здесь нужно вспомнить соответствующее свойство делимости, которое утверждает, что нуль делится на любое целое число. Таким образом, 0 делится на 3.

В некоторых случаях чтобы показать, что данное число обладает или не обладает способностью делиться на 3, к признаку делимости на 3 приходится обращаться несколько раз подряд. Приведем пример.

Пример.

Покажите, что число 907 444 812 делится на 3.

Решение.

Сумма цифр числа 907 444 812 равна 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. Чтобы выяснить, делится ли 39 на 3, вычислим его сумму цифр: 3+9=12. А чтобы узнать, делится ли 12 на 3, находим сумму цифр числа 12, имеем 1+2=3. Так как мы получили число 3, которое делится на 3, то в силу признака делимости на 3 число 12 делится на 3. Следовательно, 39 делится на 3, так как сумма его цифр равна 12, а 12 делится на 3. Наконец, 907 333 812 делится на 3, так как сумма его цифр равна 39, а 39 делится на 3.

Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.

Пример.

Делится ли на 3 число −543 205?

Решение.

Вычислим сумму цифр данного числа: 5+4+3+2+0+5=19. В свою очередь сумма цифр числа 19 равна 1+9=10, а сумма цифр числа 10 равна 1+0=1. Так как мы получили число 1, которое не делится на 3, из признака делимости на 3 следует, что 10 не делится на 3. Поэтому 19 не делится на 3, так как сумма его цифр равна 10, а 10 не делится на 3. Следовательно, исходное число −543 205 не делится на 3, так как сумма его цифр, равная 19, не делится на 3.

Ответ:

нет.

Стоит заметить, что непосредственное деление данного числа на 3 также позволяет сделать вывод о том, делится ли данное число на 3 нацело, или нет. Этим мы хотим сказать, что не нужно пренебрегать делением в пользу признака делимости на 3. В последнем примере, разделив столбиком 543 205 на 3, мы бы убедились, что 543 205 не делится нацело на 3, откуда можно было бы сказать, что и −543 205 не делится на 3.

Доказательство признака делимости на 3


Доказать признак делимости на 3 нам поможет следующее представление числа a. Любое натуральное число a мы можем разложить по разрядам, после чего правило умножения на 10, 100, 1 000 и так далее позволяет получить представление вида a=an·10n+an−1·10n−1+…+a2·102+a1·10+a0, где an, an−1, …, a0 – цифры, стоящие слева направо в записи числа a. Для наглядности приведем пример такого представления: 528=500+20+8=5·100+2·10+8.

Теперь запишем ряд достаточно очевидных равенств: 10=9+1=3·3+1, 100=99+1=33·3+1, 1 000=999+1=333·3+1 и так далее.

Подставив в равенство a=an·10n+an−1·10n−1+…+a2·102+a1·10+a0 вместо 10, 100, 1 000 и так далее выражения 3·3+1, 33·3+1, 999+1=333·3+1 и так далее, получим
.

Свойства сложения натуральных чисел и свойства умножения натуральных чисел позволяют полученное равенство переписать так:

Выражение есть сумма цифр числа a. Обозначим ее для краткости и удобства буквой А, то есть, примем . Тогда получим представление числа a вида , которым и воспользуемся при доказательстве признака делимости на 3.

Также для доказательства признака делимости на 3 нам потребуются следующие свойства делимости:

Теперь мы полностью подготовлены и можем провести доказательство признака делимости на 3, для удобства этот признак сформулируем в виде необходимого и достаточного условия делимости на 3.

Теорема.

Для делимости целого числа a на 3 необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

Доказательство.

Для a=0 теорема очевидна.

Если a отлично от нуля, то модуль числа a является натуральным числом, тогда возможно представление , где - сумма цифр числа a.

Так как сумма и произведение целых чисел есть целое число, то - целое число, тогда по определению делимости произведение делится на 3 при любых a0, a1, …, an.

Если сумма цифр числа a делится на 3, то есть, А делится на 3, то в силу свойства делимости, указанного перед теоремой, делится на 3, следовательно, a делится на 3. Так доказана достаточность.

Если a делится на 3, то и делится на 3, тогда в силу того же свойства делимости число А делится на 3, то есть, сумма цифр числа a делится на 3. Так доказана необходимость.

Другие случаи делимости на 3

Иногда целые числа задаются не в явном виде, а как значение некоторого выражения с переменной при данном значении переменной. Например, значение выражения при некотором натуральном n является натуральным числом. Понятно, что при таком задании чисел для установления их делимости на 3 не поможет непосредственное деление на 3, да и признак делимости на 3 удастся применить далеко не всегда. Сейчас мы рассмотрим несколько подходов к решению подобных задач.

Суть этих подходов заключается в представлении исходного выражения в виде произведения нескольких множителей, и если хотя бы один из множителей будет делиться на 3, то в силу соответствующего свойства делимости можно будет сделать вывод о делимости на 3 всего произведения.

Иногда реализовать такой подход позволяет бином Ньютона. Рассмотрим решение примера.

Пример.

Делится ли значение выражения на 3 при любом натуральном n?

Решение.

Очевидно равенство . Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

В последнем выражении мы можем вынести 3 за скобки, при этом получим . Полученное произведение делится на 3, так как содержит множитель 3, а значение выражения в скобках при натуральных n представляет собой натуральное число. Следовательно, делится на 3 при любом натуральном n.

Ответ:

да.

Во многих случаях доказать делимость на 3 позволяет метод математической индукции. Разберем его применение при решении примера.

Пример.

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения делится на 3.

Решение.

Для доказательства применим метод математической индукции.

При n=1 значение выражения равно , а 6 делится на 3.

Предположим, что значение выражения делится на 3 при n=k, то есть, делится на 3.

Учитывая, что делится на 3, покажем, что значение выражения при n=k+1 делится на 3, то есть, покажем, что делится на 3.

Проведем некоторые преобразования:

Выражение делится на 3 и выражение делится на 3, поэтому их сумма делится на 3.

Так методом математической индукции доказана делимость на 3 при любом натуральном n.

Покажем еще один подход к доказательству делимости на 3. Если показать, что при n=3·m, n=3·m+1 и n=3·m+2, где m – произвольное целое число, значение некоторого выражения (с переменной n) делится на 3, то это будет доказывать делимость выражения на 3 при любом целом n. Рассмотрим этот подход при решении предыдущего примера.

Пример.

Покажите, что делится на 3 при любом натуральном n.

Решение.

При n=3·m имеем . Полученное произведение делится на 3, так как содержит множитель 3, делящийся на 3.

При n=3·m+1 имеем

Полученное произведение тоже делится на 3.

При n=3·m+2 имеем

И это произведение делится на 3.

Следовательно, делится на 3 при любом натуральном n.

В заключение приведем решение еще одного примера.

Пример.

Делится ли на 3 значение выражения при некотором натуральном n.

Решение.

При n=1 имеем . Сумма цифр полученного числа равна 3, поэтому признак делимости на 3 позволяет утверждать, что это число делится на 3.

При n=2 имеем . Сумма цифр и этого числа равна 3, поэтому оно делится на 3.

Понятно, что при любом другом натуральном n мы будем иметь числа, сумма цифр которых равна 3, следовательно, эти числа делятся на 3.

Таким образом, при любом натуральном n делится на 3.

Ответ:

да.

Список литературы.

  • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Виноградов И.М. Основы теории чисел.
  • Михелович Ш.Х. Теория чисел.
  • Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+