Делимость, признаки делимости

Признак делимости на 2, примеры, доказательство.


В этой статье подробно разобран признак делимости на 2. Сначала дана его формулировка, после чего приведены примеры его применения при выяснении, какие из целых чисел делятся на два. Дальше показано доказательство признака делимости на 2. В заключение рассмотрены альтернативные способы, позволяющие установить делимость на 2 чисел, заданных в виде значений некоторых выражений.


Признак делимости на 2, примеры

Чтобы говорить о признаках делимости вообще и, в частности, о признаке делимости на 2, необходимо иметь общее представление о делимости целых чисел.

Формулировка признака делимости на 2 такова: если запись целого числа оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то это число делится на 2 нацело, если же запись целого числа оканчивается одной из цифр 1, 3, 5, 7 или 9, то такое число не делится на 2 без остатка.

Отметим, что озвученный признак делимости на 2 позволяет проверять как целые положительные числа (натуральные числа), так и целые отрицательные на их способность делиться на 2 без остатка.

Теперь можно рассмотреть примеры использования признака делимости на 2.

Пример.

Какие из данных чисел 8, −946, 53, 10 900, −988 123 761 делятся на 2?

Решение.

Несомненно, можно разделить каждое из данных чисел на 2 (например, выполнив деление столбиком), откуда будет видно, делится ли число на 2 без остатка или с остатком. Однако признак делимости на 2 позволяет ответить на вопрос задачи намного быстрее.

Так как числа 8, −946, 10 900 оканчиваются цифрами 8, 6 и 0 соответственно, то они делятся на 2 без остатка. В свою очередь числа 53 и −988 123 761 не делятся нацело на 2, так как оканчиваются на 3 и 1 соответственно.

Ответ:

8, −946 и 10 900 делятся на 2, а 53 и −988 123 761 не делятся на 2.

Разберем пример разложения числа на простые множители, в котором удобно и целесообразно применять признак делимости на 2.

Пример.

Разложите число 352 на простые множители.

Решение.

Так как запись числа 352 последней цифрой имеет 4, то из признака делимости на два можно утверждать, что это число делится на 2. Имеем 352:2=176 и 352=2·176. Очевидно, 176 тоже делится на 2. Имеем 176:2=88 и 176=2·88, тогда 352=2·176=2·2·88. Так как 88 оканчивается цифрой 8, то это число делится на 2. Получаем 88:2=44, откуда 88=2·44 и 352=2·2·88=2·2·2·44. Число 44 также делится на 2, имеем 44:2=22 и 44=2·22, следовательно, 352=2·2·2·44=2·2·2·2·22. И опять признак делимости на 2 позволяет нам утверждать, что 22 делится на 2, получаем 22:2=11, откуда 22=2·11 и 352=2·2·2·2·22=2·2·2·2·2·11. А вот число 11 оканчивается цифрой 1, следовательно, не делится на 2. Обратившись к таблице простых чисел, мы обнаружим, что 11 – простое число. Так мы получили требуемое разложение числа 352, оно имеет вид 352=2·2·2·2·2·11.

Ответ:

352=2·2·2·2·2·11.

Целые числа в зависимости от их делимости или неделимости на 2 разделяют соответственно на четные и нечетные числа. В силу признака делимости на 2 можно утверждать, что запись любого четного числа оканчивается на одну из цифр 0, 2, 4, 6, 8, а нечетного – на 1, 3, 5, 7, 9.

Доказательство признака делимости на 2


Перед доказательством признака делимости на 2 докажем вспомогательное утверждение: любое натуральное число a, запись которого оканчивается цифрой 0, делится на 2.

Правило умножения натурального числа на 10 позволяет представить число a в виде a=a1·10, где число a1 получается из числа a, если в его записи убрать последнюю цифру (например, 450=45·10, здесь a=450 и a1=45; 390 200=39 020·10, здесь a=390 200 и a1=39 020). В произведении a1·10 множитель 10 делится на 2 (так как 10=2·5), следовательно, все произведение делится на 2 в силу соответствующего свойства делимости.

Теперь можно рассмотреть доказательство признака делимости на 2. Для удобства переформулируем признак делимости на 2, озвученный в первом пункте этой статьи, в виде необходимого и достаточного условия делимости целого числа на 2 и докажем его.

Теорема.

Чтобы целое число a делилось на 2 необходимо и достаточно, чтобы в записи числа a последней цифрой была 0, 2, 4, 6 или 8.

Доказательство.

Число a всегда можно представить в виде суммы целого числа десятков и числа единиц, то есть, в виде a=a1·10+a0, где a1 – число, полученное из числа a, если в его записи убрать последнюю цифру, а a0 – число, соответствующее последней цифре в записи числа a (для пояснения приведем примеры таких представлений: 46=4·10+6, 24 328=2 432·10+8). В равенстве a=a1·10+a0 произведение a1·10 всегда делится на 2, что мы показали перед этой теоремой.

Все дальнейшее доказательство базируется на следующем свойстве делимости: если два из трех целых чисел в равенстве t=u+v делятся на некоторое целое число z, то и третье число тоже делится на z.

Если a делится на 2, то из указанного свойства делимости и представления a=a1·10+a0 следует, что a0 делится на 2, а это возможно лишь для a0 равного 0, 2, 4, 6 или 8. Если же a не делится на 2, то опять же в силу указанного свойства делимости число a0 не может делиться на 2 (иначе бы a делилось на 2), а это возможно только при a0 равном 1, 3, 5, 7 или 9. Этим доказана необходимость.

Теперь обратно. Если число a оканчивается на одну из цифр 0, 2, 4, 6 или 8, то a0 делится на 2. Поэтому в силу указанного свойства делимости и представления a=a1·10+a0 можно сделать вывод о делимости числа a на 2. Если же a оканчивается на одну из цифр 1, 3, 5, 7 или 9, то a0 не делится на 2, поэтому a тоже не делится на 2. В противном случае в силу указанного свойства делимости и представления a=a1·10+a0 число a0 делилось бы на 2, что невозможно. Этим доказана достаточность.

В заключение этого пункта отметим, что числа, записи которых оканчиваются цифрами 1, 3, 5, 7 или 9 при делении на 2 всегда дают остаток 1.

Действительно, пусть запись числа a оканчивается одной из указанных цифр. Число a можно представить как a=b+1, при этом число b будет оканчиваться на 0, 2, 4, 6 или 8. Тогда в силу признака делимости на 2, число b делится на 2, следовательно, по определению делимости может быть представлено в виде b=2·q, где q – некоторое целое число. Тогда a=2·q+1. Полученное представление показывает, что при делении числа a на 2 получается неполное частное q и остаток 1 (при необходимости смотрите теорию из раздела деление целых чисел с остатком).

Другие случаи делимости на 2

В этом пункте мы хотим коснуться случаев, в которых целое число задано не непосредственно, а в виде некоторого значения буквенного выражения, и нужно определить, делится ли данное число на 2 или нет. Обычно в этих случаях признак делимости на 2 не помогает, также не представляется возможным выполнить и непосредственное деление. Следовательно, нужно искать какие-то другие пути решения.

Один из подходов к решению таких задач подсказывает следующее свойство делимости: если хотя бы один из множителей в произведении целых чисел делится на данное число, то и все произведение делится на это число. Таким образом, если мы представим исходное буквенное выражение в виде произведения нескольких множителей, один из которых будет делиться на 2, то этим будет доказана делимость исходного числа 2.

Представить исходное выражение в виде произведения нескольких множителей иногда помогает формула бинома Ньютона. Рассмотрим решение примера.

Пример.

Делится ли значение выражения , вычисленное при некотором натуральном n, на 2?

Решение.

Очевидно равенство . Теперь воспользуемся формулой бинома Ньютона, после чего упростим полученное выражение:

В последнем выражении можно 2 вынести за скобки, в итоге имеем равенство . При любом натуральном n правая его часть делится на 2, так как содержит множитель 2, следовательно, на 2 делится и левая часть равенства.

Ответ:

да, делится.

Во многих случаях для доказательства делимости на 2 используется метод математической индукции. Возьмем выражение из предыдущего примера и докажем методом математической индукции, что при любых натуральных n его значение делится на 2.

Пример.

Докажите, что значение выражения при любом натуральном n делится на 2.

Решение.

Воспользуемся методом математической индукции.

Во-первых, покажем, что значение выражения делится на 2 при n=1. Имеем , а 6 очевидно делится на 2.

Во-вторых, предположим, что значение выражения делится на 2 при n=k, то есть, - делится на 2.

В-третьих, исходя из того, что делится на 2, докажем, что значение выражения делится на 2 при n=k+1. То есть, докажем, что делится на 2, учитывая, что делится на 2.

Для этого выполним следующие преобразования: . Выражение делится на 2, так как делится на 2, выражение тоже делится на 2, так как содержит множитель 2, следовательно, в силу свойств делимости разность этих выражений тоже делится на 2.

Этим доказано, что при любом натуральном n значение выражения делится на 2.

Отдельно следует сказать о том, что если в произведении присутствуют два числа, которые идут друг за другом в натуральном ряду чисел, то такое произведение делится на 2. Например, произведение целых чисел вида (n+7)·(n−1)·(n+2)·(n+6) делится на 2 при любом натуральном n, так как оно содержит два подряд идущих числа из натурального ряда чисел (ими являются числа n+6 и n+7), а одно из них обязательно делится на 2 при любом натуральном n.

Аналогично, если в произведении присутствуют два множителя, между которыми находится четное число членов натурального ряда, то такое произведение делится на 2. Например, значение выражения (n+1)·(n+6) при любом натуральном n делится на 2, так как между натуральными числами n+1 и n+6 содержится четное количество чисел: n+2, n+3, n+4 и n+5.

Обобщим информацию двух предыдущих пунктов. Если показать, что значение некоторого выражения делится на 2 при n=2·m и при n=2·m+1, где m – произвольное целое число, то этим будет доказано, что исходное выражение делится на 2 при любых целых n.

Пример.

Докажите, что n3+7·n2+16·n+12 делится на 2 при любом натуральном n.

Решение.

Исходное выражение можно представить в виде произведения (n+2)2·(n+3) (при необходимости обращайтесь к материалу статьи разложение многочлена на множители). В этом произведение присутствуют множители n+2 и n+3, которые соответствуют двум идущим подряд числам из натурального ряда. При любом натуральном значении n одно из чисел n+2 или n+3 обязательно делится на 2, поэтому и произведение (n+2)2·(n+3) делится на 2, следовательно, и значение исходного выражения делится на 2.

Приведем более строгое доказательство.

При n=2·m имеем . Это выражение делится на 2, так как содержит множитель 4, который делится на 2.

При n=2·m+1 имеем . Полученное произведение делится на 2, так как содержит множитель 2.

Этим доказано, что n3+7·n2+16·n+12=(n+2)2·(n+3) делится на 2 при любом натуральном n.

Список литературы.

  • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Виноградов И.М. Основы теории чисел.
  • Михелович Ш.Х. Теория чисел.
  • Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+