Делимость, признаки делимости

Признаки делимости на 10, 100, 1 000 и так далее, примеры, доказательства.


Продолжим разбирать признаки делимости. В этой статье изучим признаки делимости на 10, 100, 1 000 и так далее. Сначала дадим их формулировки и приведем примеры применения указанных признаков делимости. После этого докажем признаки делимости на 10, 100, 1 000, … В заключение рассмотрим примеры доказательства делимости на 10, 100, 1 000 и т.д. с использованием формулы бинома Ньютона и метода математической индукции.


Признаки делимости на 10, 100, 1 000 и т.д., примеры

Сформулируем сначала признак делимости на 10: если последняя цифра в записи целого числа есть 0, то такое число делится на 10; если же последняя цифра в записи числа отлична от 0, то такое число не делится на 10.

Формулировка признака делимости на 100 такова: если две последние цифры в записи целого числа являются нулями, то такое число делится на 100; если же хотя бы одна из двух последних цифр числа отлична от цифры 0, то такое число на 100 на делится.

Аналогично формулируются признаки делимости на 1 000, 10 000 и так далее, в них лишь речь идет о последних трех, четырех и так далее нулях в записи целого числа.

Отдельно нужно сказать, что приведенные признаки делимости на 10, 100, 1 000 и т.д. не распространяются лишь на число нуль. Мы знаем, что нуль делится на любое целое число. В частности, нуль делится и на 10, и на 100, и на 1 000, и т.д.

Озвученные признаки делимости на 10, 100, 1 000, … очень легко и удобно применять на практике, для этого нужно исследовать нужное количество последних цифр в записи числа. Рассмотрим примеры применения признаков делимости на 10, 100, 1 000, …

Пример.

Какие из целых чисел 500, −1 010, −50 012, 440 000 300 000, 67 893 делятся на 10? Какие из этих чисел делятся на 10 000? А какие числа не делятся на 100?

Решение.

Признак делимости на 10 позволяет нам утверждать, что числа 500, −1 010, 440 000 300 000 делятся на 10, так как в их записи последней цифрой является 0, а числа −50 012 и 67 893 на 10 не делятся, так как их записи оканчиваются цифрами 2 и 3 соответственно.

На 10 000 делится лишь число 440 000 300 000, так как только в его записи справа находится четыре цифры 0.

Основываясь на признаке делимости на 100, мы можем сказать, что на 100 не делятся числа −1 010, −50 012 и 67 893, так как в их записях две последние цифры не являются цифрами 0.

Ответ:

500, −1 010, 440 000 300 000 делятся на 10; 440 000 300 000 делится на 10 000; 1 010, −50 012 и 67 893 не делятся на 100.

Доказательство признаков делимости на 10, 100, 1 000 и т.д.


Доказательство признаков делимости на 10, 100, 1 000 и так далее базируется на правиле умножения натурального числа на 10, 100, 1 000, …, а также на понятии и свойствах делимости.

Покажем доказательство признака делимости на 10. Для удобства переформулируем этот признак в виде необходимого и достаточного условия делимости на 10.

Теорема.

Для делимости целого числа на 10 необходимо и достаточно, чтобы в его записи последней цифрой была цифра 0.

Доказательство.

Сначала докажем необходимость. Пусть целое число a делится на 10, докажем, что в этом случае в записи числа a последней цифрой является цифра 0.

Так как a делится на 10, то по понятию делимости существует такое целое число q, что a=10·q. Из правила умножения на 10 следует, что произведение 10·q равно целому числу, запись которого получается из записи числа q, если в ней справа дописать цифру 0. Таким образом, последней цифрой в записи числа a=10·q является цифра 0. Так доказана необходимость.

Переходим к доказательству достаточности. Пусть в записи целого числа a последней цифрой является 0, докажем, что число a в этом случае делится на 10.

Если в записи целого числа последней цифрой является 0, то такое число в силу правила умножения на 10 можно представить как a=a1·10, где запись числа a1 получается из записи числа a, если в ней убрать последнюю цифру. По понятию делимости из равенства a=a1·10 следует делимость числа a на 10. Достаточность доказана.

По аналогии доказываются и признаки делимости на 100, 1 000 и так далее.

Другие случаи делимости на 10, 100, 1 000 и т.д.

В этом пункте мы хотим показать, какие еще бывают способы доказательства делимости на 10. Например, если число задано в виде значения какого-нибудь выражения с переменной при некотором значении переменной, то применять признаки делимости на 10, 100, 1 000 часто оказывается невозможно. Поэтому приходится прибегать к другим методам решения.

Иногда показать делимость позволяет формула бинома Ньютона. Рассмотрим пример.

Пример.

Делится ли на 10 при любом натуральном n?

Решение.

Число 11 можно представить в виде суммы 10+1, после чего применить формулу бинома Ньютона:

Очевидно, полученное произведение делится на 10, так как содержит множитель 10, а значение выражения в скобках является натуральным числом при любом натуральном n. Следовательно, делится на 10 при любом натуральном n.

Ответ:

да.

Другим способом доказательства делимости является метод математической индукции. Разберем его применение на примере.

Пример.

Докажите, что делится на 10 при любом натуральном n.

Решение.

Воспользуемся методом математической индукции.

При n=1 имеем , а 10 делится на 10.

Предположим, что при n=k значение выражения делится на 10, то есть, будем считать, что делится на 10.

Исходя из предположения предыдущего шага, докажем, что значение выражения делится на 10 при n=k+1.

Выполним следующие преобразования:

В полученной разности выражение делится на 10, так как делится на 10, а выражение тоже делится на 10, так как содержит множитель 10. Следовательно, вся разность делится на 10. Этим доказано, что значение выражения делится на 10 при n=k+1.

Так методом математической индукции доказано, что делится на 10 при любом натуральном n.

Если требуется доказать делимость на 10 значения многочлена с переменной n, то можно использовать такой подход. Нужно показать, что при n=10·m, n=10·m+1, …, n=10·m+9, где m – целое число, значение исходного выражения делится на 10. Этим будет доказана делимость исходного выражения на 10 при любом целом n. Примеры доказательств делимости таким способом можно посмотреть в материале другие случаи делимости на 3.

Список литературы.

  • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Виноградов И.М. Основы теории чисел.
  • Михелович Ш.Х. Теория чисел.
  • Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Некогда разбираться?

Закажите решение