Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Эта статья создана, чтобы ответить на вопрос «как решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами». Сначала кратко остановимся на необходимой теории, далее подробно опишем решения типовых примеров и задач.
Если Вам будут встречаться незнакомые термины, то обращайтесь к статье основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где p и q – произвольные действительные числа, а функция f(x) – непрерывна на интервале интегрирования X.
Сформулируем теорему, которая показывает в каком виде искать общее решение ЛНДУ.
Теорема.
Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами и непрерывной функцией f(x) равно сумме общего решения соответствующего ЛОДУ и какого-нибудь частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, .
Таким образом, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является сумма общего решения соответствующего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и частного решения исходного ЛНДУ: . Нахождение описано в статье линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и нам осталось научиться определять .
Существует несколько методов нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Методы выбираются в зависимости от вида функции f(x), стоящей в правой части уравнения. Перечислим их и разберем решения соответствующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
-
Если f(x) является многочленом n-ой степени f(x) = Pn(x), то частное решение ЛНДУ ищется в виде , где Qn(x) – многочлен степени n, а r – количество корней характеристического уравнения, равных нулю. Так как - частное решение уравнения , то коэффициенты, определяющие многочлен Qn(x), находятся методом неопределенных коэффициентов из равенства .
Пример.
Решите задачу Коши , .
Решение.
Другими словами, нам требуется найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , удовлетворяющее начальным условиям .
Мы знаем, что общее решение линейного неоднородного уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения , то есть, .
Сначала найдем общее решение ЛНДУ, далее займемся частным решением.
Найдем . Для этого записываем характеристическое уравнение и находим его корни.
Корни действительные и различные, поэтому, .
Переходим к . Так как правая часть исходного уравнения есть многочлен второй степени и один корень характеристического уравнения равен нулю, то частное решение ищем в виде , где А, В и С – неопределенные коэффициенты. Эти коэффициенты определим из равенства .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых показателях степени x, приходим к системе линейных уравнений . Решая ее любым способом (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных алгебраических уравнений), получаем искомые неопределенные коэффициенты . Следовательно, и .
Это есть общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . То есть, требуется определить такие C1 и C2 в равенстве , чтобы выполнялись условия .
Имеем
С другой стороны .
Таким образом, получаем систему уравнений . Откуда .
Следовательно, решением задачи Коши является функция
-
Если функция f(x) представлена произведением многочлена степени n и экспоненты , то частное решение ЛНДУ второго порядка ищется в виде , где Qn(x) – многочлен n-ой степени, r – число корней характеристического уравнения, равных . Коэффициенты многочлена Qn(x) определяются из равенства .
Пример.
Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение.
Общее решение имеет вид .
Нашему уравнению соответствует ЛОДУ . В предыдущем примере мы выяснили, что корнями его характеристического уравнения являются k1 = 0 и k2 = 2 и .
Так как правая часть исходного уравнения представляет собой произведение , то частное решение ЛНДУ ищем в виде , причем Qn(x) – многочлен второй степени, и r=0, так как характеристическое уравнение не имеет корней равных единице. Поэтому , где А, В и С – неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты находим из равенства .
Так как
то
Приравнивая коэффициенты при одинаковых показателях степени x, получаем систему линейных уравнений, откуда определяем неизвестные коэффициенты А, В и С.
Следовательно, - частное решение исходного ЛНДУ и - общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
-
Если функция f(x) имеет вид , где А1 и В1 – числа, то частное решение ЛНДУ представляется как , где А и В – неопределенные коэффициенты, r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равных . Коэффициенты многочлена А и В находятся из равенства .
Пример.
Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение.
Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение и решаем его:
Получили пару комплексно сопряженных корней, поэтому, .
Так как корни характеристического уравнения есть комплексно сопряженная пара , а , то будем искать в виде , где А и В – неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты найдем из равенства .
Имеем
Поэтому
Приравниваем коэффициенты при синусах и при косинусах:
Следовательно, и общее решение исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
-
Если , то , где r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, равных , Pn(x), Qk(x), Lm(x) и Nm(x) - многочлены степени n, k, m и m соответственно, m = max(n, k). Коэффициенты многочленов Lm(x) и Nm(x) находятся из равенства .
Пример.
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Решение.
В нашем случае . Следовательно, m=max(n,k)=1.
Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение и решаем его:
Корни действительные и различные, поэтому, .
Теперь ищем общее решение исходного неоднородного уравнения в виде
где А, В, С и D – неизвестные коэффициенты, а r=0 так как нет ни одной пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения равных .Коэффициенты А, В, С и D найдем из равенства .
После нахождения производных и приведения подобных слагаемых имеем
Приравниваем соответствующие коэффициенты (в предыдущем равенстве мы их расположили по строкам) и решаем полученную систему линейных уравнений любым методом:
Таким образом,
и
Это есть общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
-
Для любого другого вида функции f(x) применяется следующий алгоритм действий:
- находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения как y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2, где y1 и y2 - линейно независимые частные решения ЛОДУ, а С1 и С2 – произвольные постоянные;
- варьируются произвольные постоянные, то есть, в качестве общего решения исходного ЛНДУ принимается y = C1(x) ⋅ y1 + C2(x) ⋅ y2;
- производные функций C1(x) и С2(x) определяются из системы уравнений , а сами функции C1(x) и C2(x) находятся при последующем интегрировании.
Пример.
Найдите общее решение дифференциального уравнения .
Решение.
Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения и решаем его:
Варьируем произвольные постоянные, то есть, общее решение исходного уравнения ищем в виде .
Определим производные функций C1(x) и C2(x) из системы уравнений:
Решаем систему относительно неизвестных и любым способом. Ее решениями являются
Проинтегрировав каждое уравнение (при необходимости обратитесь к разделу методы интегрирования), получаем
Следовательно, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
Список литературы.
- Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
Некогда разбираться?