Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Эта статья создана, чтобы ответить на вопрос «как решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами». Сначала кратко остановимся на необходимой теории, далее подробно опишем решения типовых примеров и задач.

Если Вам будут встречаться незнакомые термины, то обращайтесь к статье основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид формула, где p и q – произвольные действительные числа, а функция f(x) – непрерывна на интервале интегрирования X.

Сформулируем теорему, которая показывает в каком виде искать общее решение ЛНДУ.

Теорема.

Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения формула с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами формула и непрерывной функцией f(x) равно сумме общего решения формула соответствующего ЛОДУ и какого-нибудь частного решения формула исходного неоднородного уравнения, то есть, формула.

Таким образом, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является сумма общего решения соответствующего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и частного решения исходного ЛНДУ: формула. Нахождение формула описано в статье линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и нам осталось научиться определять формула.

Существует несколько методов нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Методы выбираются в зависимости от вида функции f(x), стоящей в правой части уравнения. Перечислим их и разберем решения соответствующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

  1. Если f(x) является многочленом n-ой степени f(x) = Pn(x), то частное решение ЛНДУ ищется в виде формула, где Qn(x) – многочлен степени n, а r – количество корней характеристического уравнения, равных нулю. Так как формула - частное решение уравнения формула, то коэффициенты, определяющие многочлен Qn(x), находятся методом неопределенных коэффициентов из равенства формула.

    Пример.

    Решите задачу Коши формула, формула.

    Решение.

    Другими словами, нам требуется найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами формула, удовлетворяющее начальным условиям формула.

    Мы знаем, что общее решение линейного неоднородного уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения формула и какого-либо частного решения неоднородного уравнения формула, то есть, формула.

    Сначала найдем общее решение ЛНДУ, далее займемся частным решением.

    Найдем формула. Для этого записываем характеристическое уравнение и находим его корни.
    формула

    Корни действительные и различные, поэтому, формула.

    Переходим к формула. Так как правая часть исходного уравнения есть многочлен второй степени и один корень характеристического уравнения равен нулю, то частное решение формула ищем в виде формула, где А, В и С – неопределенные коэффициенты. Эти коэффициенты определим из равенства формула.
    формула

    Приравнивая коэффициенты при одинаковых показателях степени x, приходим к системе линейных уравнений формула. Решая ее любым способом (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных алгебраических уравнений), получаем искомые неопределенные коэффициенты формула. Следовательно, формула и формула.

    Это есть общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

    Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям формула. То есть, требуется определить такие C1 и C2 в равенстве формула, чтобы выполнялись условия формула.

    Имеем
    формула

    С другой стороны формула.

    Таким образом, получаем систему уравнений формула. Откуда формула.

    Следовательно, решением задачи Коши является функция
    формула

  2. Если функция f(x) представлена произведением многочлена степени n и экспоненты формула, то частное решение ЛНДУ второго порядка ищется в виде формула, где Qn(x) – многочлен n-ой степени, r – число корней характеристического уравнения, равных формула. Коэффициенты многочлена Qn(x) определяются из равенства формула.

    Пример.

    Найти общее решение дифференциального уравнения формула.

    Решение.

    Общее решение имеет вид формула.

    Нашему уравнению соответствует ЛОДУ формула. В предыдущем примере мы выяснили, что корнями его характеристического уравнения являются k1 = 0 и k2 = 2 и формула.

    Так как правая часть исходного уравнения представляет собой произведение формула, то частное решение ЛНДУ ищем в виде формула, причем Qn(x) – многочлен второй степени, формула и r=0, так как характеристическое уравнение не имеет корней равных единице. Поэтому формула, где А, В и С – неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты находим из равенства формула.

    Так как
    формула
    то
    формула

    Приравнивая коэффициенты при одинаковых показателях степени x, получаем систему линейных уравнений, откуда определяем неизвестные коэффициенты А, В и С.
    формула

    Следовательно, формула - частное решение исходного ЛНДУ и формула - общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

  3. Если функция f(x) имеет вид формула, где А1 и В1 – числа, то частное решение ЛНДУ представляется как формула, где А и В – неопределенные коэффициенты, r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равных формула. Коэффициенты многочлена А и В находятся из равенства формула.

    Пример.

    Найти общее решение дифференциального уравнения формула.

    Решение.

    Находим сначала формула, для этого записываем характеристическое уравнение и решаем его:
    формула

    Получили пару комплексно сопряженных корней, поэтому, формула.

    Так как корни характеристического уравнения есть комплексно сопряженная пара формула, а формула, то формула будем искать в виде формула, где А и В – неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты найдем из равенства формула.

    Имеем
    формула

    Поэтому
    формула

    Приравниваем коэффициенты при синусах и при косинусах:
    формула

    Следовательно, формула и общее решение исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
    формула

  4. Если формула, то формула, где r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, равных формула, Pn(x), Qk(x), Lm(x) и Nm(x) - многочлены степени n, k, m и m соответственно, m = max(n, k). Коэффициенты многочленов Lm(x) и Nm(x) находятся из равенства формула.

    Пример.

    Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами формула.

    Решение.

    В нашем случае формула. Следовательно, m=max(n,k)=1.

    Находим сначала формула, для этого записываем характеристическое уравнение и решаем его:
    формула

    Корни действительные и различные, поэтому, формула.

    Теперь ищем общее решение исходного неоднородного уравнения формула в виде
    формула
    где А, В, С и D – неизвестные коэффициенты, а r=0 так как нет ни одной пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения равных формула.

    Коэффициенты А, В, С и D найдем из равенства формула.
    формула

    После нахождения производных и приведения подобных слагаемых имеем
    формула

    Приравниваем соответствующие коэффициенты (в предыдущем равенстве мы их расположили по строкам) и решаем полученную систему линейных уравнений любым методом:
    формула

    Таким образом,
    формула
    и
    формула

    Это есть общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

  5. Для любого другого вида функции f(x) применяется следующий алгоритм действий:

    • находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения как y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2, где y1 и y2 - линейно независимые частные решения ЛОДУ, а С1 и С2 – произвольные постоянные;
    • варьируются произвольные постоянные, то есть, в качестве общего решения исходного ЛНДУ принимается y = C1(x) ⋅ y1 + C2(x) ⋅ y2;
    • производные функций C1(x) и С2(x) определяются из системы уравнений формула, а сами функции C1(x) и C2(x) находятся при последующем интегрировании.

    Пример.

    Найдите общее решение дифференциального уравнения формула.

    Решение.

    Находим сначала формула, для этого записываем характеристическое уравнение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения формула и решаем его:
    формула

    Варьируем произвольные постоянные, то есть, общее решение исходного уравнения ищем в виде формула.

    Определим производные функций C1(x) и C2(x) из системы уравнений:
    формула

    Решаем систему относительно неизвестных формула и формула любым способом. Ее решениями являются
    формула

    Проинтегрировав каждое уравнение (при необходимости обратитесь к разделу методы интегрирования), получаем
    формула

    Следовательно, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
    формула

Список литературы.

  • Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

Профиль автора статьи в Google+