Дифференциальные уравнения, примеры, решения

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.


В этой статье мы разберем принципы решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами формула, где p и q – произвольные действительные числа. Сначала остановимся на теории, далее применим полученные результаты в решении примеров и задач.

Если Вам будут встречаться незнакомые термины, то обращайтесь к разделу определения и понятия теории дифференциальных уравнений.


Сформулируем теорему, которая указывает, в каком виде находить общее решение ЛОДУ.

Теорема.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения формула с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами формула определяется линейной комбинацией формула, где формула - линейно независимые частные решения ЛОДУ на X, а формула - произвольные постоянные.

Таким образом, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка формула с постоянными коэффициентами имеет вид y0=C1⋅y1+C2⋅y2 , где y1 и y2 – частные линейно независимые решения, а С1 и C2 – произвольные постоянные. Осталось научиться находить частные решения y1 и y2.

Эйлер предложил искать частные решения в виде формула.

Если принять формула частным решением ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами формула, то при подстановке этого решения в уравнение мы должны получить тождество:
формула

Так мы получили так называемое характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Решения k1 и k2 этого характеристического уравнения определяют частные решения формула и формула нашего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.


В зависимости от коэффициентов p и q корни характеристического уравнения могут быть:

  1. действительными и различными формула,
  2. действительными и совпадающими формула,
  3. комплексно сопряженной парой формула.

В первом случае линейно независимыми частными решениями исходного дифференциального уравнения являются формула и формула, общее решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами есть формула.

Функции формула и формула действительно линейно независимы, так как определитель Вронского формула отличен от нуля для любых действительных x при формула.

Во втором случае одним частным решением является функция формула. В качестве второго частного решения берется формула. Покажем, что формула действительно является частным решением ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами формула и докажем линейную независимость y1 и y2.

Так как k1 = k0 и k2 = k0 совпадающие корни характеристического уравнения, то оно имеет вид формула. Следовательно, формула - исходное линейное однородное дифференциальное уравнение. Подставим в него формула и убедимся, что уравнение обращается в тождество:
формула

Таким образом, формула является частным решением исходного уравнения.

Покажем линейную независимость функций формула и формула. Для этого вычислим определитель Вронского и убедимся, что он отличен от нуля.
формула

Вывод: линейно независимыми частными решениями ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами формула являются формула и формула, и общее решение есть формула при формула.

В третьем случае имеем пару комплексных частных решений ЛОДУ формула и формула. Общее решение запишется как формула. Эти частные решения могут быть заменены двумя действительными функциями формула и формула, соответствующими действительной и мнимой частям. Это хорошо видно, если преобразовать общее решение формула, воспользовавшись формулами из теории функции комплексного переменного вида формула:
формула
где С3 и С4 – произвольные постоянные.

Итак, обобщим теорию.

Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами формула.

  1. Записываем характеристическое уравнение k2 + p ⋅ k + q = 0.
  2. Находим корни характеристического уравнения k1 и k2.
  3. В зависимости от значений корней характеристического уравнения записываем общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами в виде:
    • формула, если формула;
    • формула, если формула;
    • формула, если формула.

Рассмотрим примеры для каждого случая.

Пример.

Найдите общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами формула.

Решение.

Запишем характеристическое уравнение k2 + 4 ⋅ k + 4 = 0. Найдем его корни
формула

Получили два совпадающих корня, следовательно, общее решение имеет вид формула.

Пример.

Найти общее решение дифференциального уравнения формула.

Решение.

Мы имеем ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:
формула

Корни действительные и различные, поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид формула.

Пример.

Найти общее решение дифференциального уравнения формула.

Решение.

Характеристическое уравнение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
k2 - k + 3 = 0. Найдем его корни:
формула

Получили пару комплексно сопряженных корней характеристического уравнения, следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид
формула



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

Профиль автора статьи в Google+