Дифференциальные уравнения, примеры, решения

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.


В этой статье рассмотрим основные принципы нахождения общего решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка, и подробно разберем решения нескольких примеров.

Для начала рекомендуем вспомнить основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид формула, а неоднородное формула, где функции f(x), p(x) и q(x) - непрерывны на интервале интегрирования X. В частном случае, когда функции p(x) = p и q(x) = q есть постоянные, нахождение общего решения описано в разделах линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

В каком же виде ищется общее решение ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка? Сформулируем две теоремы, которые отвечают на этот вопрос.


Теорема.

Общим решением y0 линейного однородного дифференциального уравнения формула на интервале X с непрерывными коэффициентами формула на X является линейная комбинация n линейно независимых частных решений ЛОДУ формула с произвольными постоянными коэффициентами формула, то есть формула.

Теорема.

Общее решение y линейного неоднородного дифференциального уравнения формула на интервале X с непрерывными на том же промежутке X коэффициентами формула и функцией f(x) представляет собой сумму формула, где y0 - общее решение соответствующего ЛОДУ формула, а формула - какое-нибудь частное решение исходного ЛНДУ.

Таким образом,

Осталось научиться находить y1, y2 и формула.


В самых простых случаях эти функции подбираются.

Линейно независимые функции y1 и y2 наиболее часто находятся среди наборов
формула

Линейная независимость функций y1 и y2 проверяется с помощью определителя Вронского формула. Если функции линейно независимы на интервале X, то определитель Вронского отличен от нуля для любого x из промежутка X.

К примеру, функции y1 = 1 и y2 = x линейно независимы для любого действительного значения x, так как формула.

Функции y1 = sinx и y2 = cosx также линейно независимы на R, так как
формула

А вот функции y1 = - x - 1 и y2 = x + 1 линейно зависимы на интервале (-∞; +∞), так как
формула

В общем случае подбор y1, y2 и формула труден и далеко не всегда возможен.

Если получится подобрать нетривиальное (ненулевое) частное решение y1 ЛОДУ второго порядка формула, то его общее решение можно отыскать, понизив степень уравнения до первой с помощью подстановки формула.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка формула.

Решение.

Несложно заметить, что y1 = x является частным решением дифференциального уравнения формула при x ≠ 0. Понизим степень исходного уравнения с помощью замены формула откуда формула.

Если вспомнить правило дифференцирования произведения и свойства неопределенного интеграла, то
формула.

Подставив эти результаты в исходное уравнение, приходим к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными:
формула

Проинтегрировав обе части равенства, получаем формула и после потенцирования общее решение можно записать как формула, где С – произвольная постоянная.

Так как мы принимали формула, то общим решением исходного ЛОДУ второго порядка будет формула, где F(x) одна из первообразных функции формула.

Первообразная F(x) в элементарных функциях не выражается.

При решении линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка формула, если удалось найти y1 и y2, то можно не заниматься подбором формула. Общее решение ЛНДУ может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.

В этом случае общее решение ЛОДУ имеет вид y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2. Варьируя произвольные постоянные, в качестве общего решения ЛНДУ принимаем y0 = C1(x) ⋅ y1 + C2(x) ⋅ y2. Производные неизвестных функции C1(x) и C2(x) определяются из системы уравнений формула, а сами функции C1(x) и C2(x) получаются при последующем интегрировании.

Пример.

Найдите общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка формула.

Решение.

Несложно заметить, что линейно независимыми частными решениями соответствующего ЛОДУ формула являются формула и формула, то есть, формула. Варьируем произвольные постоянные, и в качестве общего решения исходного дифференциального уравнения примем формула.

Составляем систему уравнений
формула

Для ее решения используем метод Крамера:
формула

Интегрируем полученные выражения для нахождения C1(x) и C2(x):
формула

Таким образом, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид формула.

Подведем итог.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

Профиль автора статьи в Google+