Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
В этой статье рассмотрим дифференциальные уравнения порядка выше второго, в которых есть возможность понижения порядка с помощью замены. Среди таких уравнений наиболее часто встречаются ОДУ 
, которые не содержат искомой функции и производных до k–1 порядка, и дифференциальные уравнения вида 
, которые не содержат независимого переменного.
Понижение порядка дифференциальных уравнений, которые не содержат искомой функции и производных до k–1 порядка вида .
Порядок дифференциального уравнения может быть снижен до n–k заменой переменных 
. При такой замене получим 
. После подстановки этих результатов в исходное уравнение получим дифференциальное уравнение порядка n–k с неизвестной функцией p(x). После нахождения p(x), функция y(x) может быть найдена из равенства 
интегрированием k раз подряд.
Рассмотрим примеры.
Пример.
Найдите общее решение дифференциального уравнения 
.
Решение.
Заменой 
порядок дифференциального уравнения может быть снижен с четвертого до второго. Действительно, 
, и исходное ОДУ четвертого порядка преобразуется к линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами 
.
Его характеристическое уравнение имеет вид 
. Корнями характеристического уравнения являются 
и 
, следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид 
.
Дважды проинтегрировав этот результат, получим искомое общее решение дифференциального уравнения четвертого порядка:
Ответ:
, где С1, С2, С3 и С4 – произвольные постоянные.
Пример.
Найдите общее решение дифференциального уравнения третьего порядка 
.
Решение.
Пусть , тогда 
и исходное дифференциальное уравнение третьего порядка сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными вида 
.
Разделяем переменные и интегрируем:
Потенцируя полученное равенство и учитывая, что p(x)=0 также является решением, получаем общее решение дифференциального уравнения в виде 
, где C – произвольная постоянная.
Так как мы вводили замену , то 
, следовательно, 
. Воспользуемся методом интегрирования по частям:
Интегрируем еще раз, чтобы получить общее решение исходного дифференциального уравнения третьего порядка:
Ответ:
, где С, С3 и С4 – произвольные постоянные.
Понижение порядка дифференциальных уравнений, которые не содержат независимого переменного, вида .
Переходим к дифференциальным уравнениям вида , которые не содержат независимого переменного.
Порядок таких дифференциальных уравнений можно снизить на единицу заменой 
. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции имеем
Подставляя эти результаты в исходное уравнение, приходим к дифференциальному уравнению, порядок которого на единицу ниже.
Разберем на примере.
Пример.
Найдите частное решение дифференциального уравнения 
, удовлетворяющее начальным условиям 
.
Решение.
Исходное дифференциальное уравнение не содержит независимой переменной x, поэтому его порядок может быть снижен на единицу заменой . Тогда 
и после подстановки получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными 
.
Интегрируем его:
Так как , то 
.
На этом этапе есть возможность определить константу C, обратившись к начальным условиям :
Из последнего равенства можно сделать вывод, что 
,а 
не удовлетворяет условиям задачи. Поэтому
При 
имеем 
, откуда
Область значений функции 
есть (-∞,-1], а этот интервал не удовлетворяет условию , поэтому не рассматриваем.
Воспользуемся начальным условием 
:
Следовательно, 
- искомое частное решение.
При 
имеем 
, откуда 
.
Областью значений функции 
является интервал [1,+∞), а этот интервал не удовлетворяет условию , поэтому не рассматриваем.
Для функции 
начальное условие 
не удовлетворяется ни для каких С6, так как
Ответ:
.
Список литературы.
- Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
Некогда разбираться?