Дифференциальные уравнения, примеры, решения

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.


В этой статье рассмотрим дифференциальные уравнения порядка выше второго, в которых есть возможность понижения порядка с помощью замены. Среди таких уравнений наиболее часто встречаются ОДУ формула, которые не содержат искомой функции и производных до k–1 порядка, и дифференциальные уравнения вида формула, которые не содержат независимого переменного.


Понижение порядка дифференциальных уравнений, которые не содержат искомой функции и производных до k–1 порядка вида формула.

Порядок дифференциального уравнения формула может быть снижен до n–k заменой переменных формула. При такой замене получим формула. После подстановки этих результатов в исходное уравнение получим дифференциальное уравнение порядка n–k с неизвестной функцией p(x). После нахождения p(x), функция y(x) может быть найдена из равенства формула интегрированием k раз подряд.

Рассмотрим примеры.

Пример.

Найдите общее решение дифференциального уравнения формула.

Решение.

Заменой формула порядок дифференциального уравнения может быть снижен с четвертого до второго. Действительно, формула, и исходное ОДУ четвертого порядка преобразуется к линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами формула.

Его характеристическое уравнение имеет вид формула. Корнями характеристического уравнения являются формула и формула, следовательно, общее решение дифференциального уравнения формула имеет вид формула.

Дважды проинтегрировав этот результат, получим искомое общее решение дифференциального уравнения четвертого порядка:
формула

Ответ:

формула, где С1, С2, С3 и С4 – произвольные постоянные.

Пример.

Найдите общее решение дифференциального уравнения третьего порядка формула.

Решение.

Пусть формула, тогда формула и исходное дифференциальное уравнение третьего порядка сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными вида формула.

Разделяем переменные и интегрируем:
формула

Потенцируя полученное равенство и учитывая, что p(x)=0 также является решением, получаем общее решение дифференциального уравнения формула в виде формула, где C – произвольная постоянная.

Так как мы вводили замену формула, то формула, следовательно, формула. Воспользуемся методом интегрирования по частям:
формула

Интегрируем еще раз, чтобы получить общее решение исходного дифференциального уравнения третьего порядка:
формула

Ответ:

формула, где С, С3 и С4 – произвольные постоянные.

Понижение порядка дифференциальных уравнений, которые не содержат независимого переменного, вида формула.


Переходим к дифференциальным уравнениям вида формула, которые не содержат независимого переменного.

Порядок таких дифференциальных уравнений можно снизить на единицу заменой формула. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции имеем
формула

Подставляя эти результаты в исходное уравнение, приходим к дифференциальному уравнению, порядок которого на единицу ниже.

Разберем на примере.

Пример.

Найдите частное решение дифференциального уравнения формула, удовлетворяющее начальным условиям формула.

Решение.

Исходное дифференциальное уравнение не содержит независимой переменной x, поэтому его порядок может быть снижен на единицу заменой формула. Тогда формула и после подстановки получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными формула.

Интегрируем его:
формула

Так как формула, то формула.

На этом этапе есть возможность определить константу C, обратившись к начальным условиям формула:
формула

Из последнего равенства можно сделать вывод, что формулаформула не удовлетворяет условиям задачи. Поэтому
формула

При формула имеем формула, откуда
формула

Область значений функции формула есть (-∞,-1], а этот интервал не удовлетворяет условию формула, поэтому формула не рассматриваем.

Воспользуемся начальным условием формула:
формула

Следовательно, формула - искомое частное решение.

При формула имеем формула, откуда формула. Областью значений функции формула является интервал [1,+∞), а этот интервал не удовлетворяет условию формула, поэтому формула не рассматриваем.

Для функции формула начальное условие формула не удовлетворяется ни для каких С6, так как
формула

Ответ:

формула.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

Профиль автора статьи в Google+