Дифференциальные уравнения, примеры, решения

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.


Сразу скажем, что найти в аналитическом виде общее решение линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков далеко не всегда возможно. В большинстве случаев используют приближенные методы решения.

В этой статье мы озвучим основные теоретические сведения о решении ЛОДУ n-ого порядка вида формула и ЛНДУ n-ого порядка вида формула.

Начнем с линейных однородных дифференциальных уравнений n-ого порядка, после чего перейдем к неоднородным ДУ.


Теорема.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка формула с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами формула определяется линейной комбинацией формула, где формула - линейно независимые частные решения ЛОДУ на X, а формула - произвольные постоянные.

Функции формула являются линейно независимыми на некотором интервале X, если тождество формула справедливо лишь при нулевых коэффициентах формула.

Для линейно независимых функций формула определитель Вронского не обращается в ноль при любых x из X:
формула

Неравенство нулю определителя Вронского можно использовать как критерий линейной независимости функций на интервале.

Как же находить формула - линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка?

Обычно эти функции подбираются из стандартных систем линейно независимых функций:

формула

Если удалось подобрать все n линейно независимых частных решения формула, то можно записывать общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка формула - оно имеет вид формула. Если же удалось подобрать лишь несколько линейно независимых частных решений, то можно понизить степень исходного уравнения с помощью замены. Но на этом останавливаться не будем (если нужно, обращайтесь к дополнительной литературе).

Теперь разберемся с линейными неоднородными дифференциальными уравнениями n-ого порядка вида формула.


Теорема.

Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения порядка n вида формула с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами формула и непрерывной функцией f(x) равно сумме общего решения формула соответствующего ЛОДУ и какого-нибудь частного решения формула исходного неоднородного уравнения. То есть, формула.

О нахождении y0 - общего решения соответствующего ЛОДУ n-ого порядка мы поговорили выше. Осталось разобраться с нахождением формула - частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка.

В некоторых случаях какое-нибудь частное решение формула бывает достаточно очевидно, то есть, оно подбирается. Если же формула подобрать сложно, но известны n линейно независимых частных решений формула соответствующего ЛОДУ, то общее решение исходного ЛНДУ n-ого порядка может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.

В этом случае общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения формула ищется в виде формула, а функции C1(x), C2(x), …, Cn(x) находятся интегрированием после решения системы уравнений
формула

На этом закончим.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

Профиль автора статьи в Google+