Дифференциальные уравнения, примеры, решения

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка.


Эта статья посвящена решению линейных неоднородных дифференциальных уравнений формула. Сначала разобран метод вариации произвольной постоянной и показано его применение при решении задачи Коши. Далее озвучен метод, основанный на представлении искомой функции y в виде произведения двух функций u(x) и v(x), и для его пояснения приведено подробное решение примера.

Если в тексте будут встречаться незнакомые термины, то Вам может быть полезен раздел основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.


Метод вариации произвольной постоянной для решения ЛНДУ первого порядка.

Линейному неоднородному дифференциальному уравнению (ЛНДУ) формула соответствует линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) формула (при Q(x) = 0). Дифференциальное уравнение формула является уравнением с разделяющимися переменными. Проинтегрируем его.
формула

При y=0 дифференциальное уравнение формула обращается в тождество, поэтому y=0 также является решением (этому случаю соответствует решение формула при C=0). Таким образом, можно утверждать, что формула - общее решение ЛОДУ, где С – произвольная постоянная.

Теперь мы знаем, что формула решение линейного однородного дифференциального уравнения формула. Для нахождения общего решения соответствующего неоднородного уравнения формула варьируем постоянную С, то есть, считаем С функцией аргумента x, а не константой. Другими словами, принимаем формула общим решением ЛНДУ.

Тогда, если подставить формула в дифференциальное уравнение формула, то оно должно обратиться в тождество
формула

Воспользуемся правилом дифференцирования произведения:
формула

Производная сложной функции формула равна формула. А если вспомнить свойства неопределенного интеграла, то формула.

Таким образом, возможен следующий переход: формула.

Полученное уравнение есть простейшее дифференицальное уравнение первого порядка. Решив его, мы определим функцию C(x), что позволит записать решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка в виде формула.

Подведем итог.

Метод вариации произвольной постоянной при решении линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка состоит из трех этапов:

  1. сначала находится общее решение соответствующего ЛОДУ формула в виде формула,
  2. далее варьируется произвольная постоянная С, то есть, заменяется функцией С(x),
  3. в заключении функция формула подставляется в исходное дифференциальное уравнение, откуда определяется C(x) и записывается ответ.

Покажем применение метода вариации произвольной постоянной на примере.

Пример.

Найдите решение задачи Коши формула, y(1) = 3.

Решение.

Иными словами, нам требуется отыскать частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения формула при начальном условии y(1) = 3. В нашем примере формула и Q(x) = x2 + 1. Сначала найдем общее решение ЛОДУ. Далее воспользуемся методом вариации произвольной постоянной и определим общее решение ЛНДУ, и, наконец, найдем искомое частное решение.

Общим решением соответствующего ЛОДУ формула является семейство функций формула, где С – произвольная постоянная. (Решить это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными предоставляем Вам самим).

Варьируем произвольную постоянную формула и подставляем эту функцию в исходное уравнение:
формула
откуда формула, где C1 – произвольная постоянная.

Следовательно, формула - общее решение неоднородного уравнения.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 3.

Так как формула, то формула. Обратившись к начальному условию, получаем уравнение формула, откуда формула. Следовательно, искомое решение задачи Коши имеет вид формула.

Можно переходить к рассмотрению другого метода решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений формула.

Еще один метод решения ЛНДУ первого порядка.


Будем искать неизвестную функцию в виде произведения y = u ⋅ v, где u и v – функции аргумента x.

Если подставить эту функцию в линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, то получим
формула

Если найти такое v, чтобы оно было ненулевым частным решением дифференциального уравнения формула, то u можно будет определить из уравнения с разделяющимися переменными формула.

Разберем этот способ, решив предыдущий пример.

Пример.

Найдите общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения формула.

Решение.

Пусть y = u ⋅ v, тогда
формула

Находим такое v, отличное от нуля, чтобы выражение в скобках обращалось в ноль. Иными словами, находим частное решение дифференциального уравнения формула.
формула

Возьмем частное решение v = x2 + 1, соответствующее C2 – С1 = 0.

Для этого частного решения имеем
формула

Следовательно, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения есть формула.

Видно, что ответы совпадают. Так что выбирайте, какой из методов решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка Вам ближе и пользуйтесь им.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

Профиль автора статьи в Google+