Уравнения в полных дифференциалах.
Левые части дифференциальных уравнений вида 
иногда представляют собой полные дифференциалы некоторых функций. Если восстановить функцию по ее полному дифференциалу, то будет найден общий интеграл дифференциального уравнения. В этой статье опишем метод восстановления функции по ее полному дифференциалу, теоретический материал снабдим примерами и задачами с подробным описанием решения.
Левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) = 0, если выполняется условие 
.
Так как полный дифференциал функции U(x, y) = 0 есть 
, то при выполнении условия можно утверждать, что 
. Следовательно, 
.
Из первого уравнения системы имеем 
. Функцию 
можно найти, используя второе уравнение системы:
Так будет найдена искомая функция U(x, y) = 0.
Рассмотрим пример.
Пример.
Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
Решение.
В этом примере 
. Условие выполняется, так как
следовательно, левая часть исходного дифференциального уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0. Наша задача сводится к отысканию этой функции.
Так как 
есть полный дифференциал функции U(x, y) = 0 , то 
. Интегрируем по x первое уравнение системы 
и дифференцируем по y полученный результат 
. С другой стороны, из второго уравнения системы имеем 
. Следовательно,
где С – произвольная постоянная.
Таким образом, 
и общим интегралом исходного уравнения является 
.
Существует другой метод нахождения функции по ее полному дифференциалу. Он заключается во взятии криволинейного интеграла от фиксированной точки (x0 , y0) до точки с переменными координатами (x, y): 
. В этом случае значение интеграла не зависит от пути интегрирования. Удобно брать в качестве пути интегрирования ломаную, звенья которой параллельны осям координат.
Рассмотрим на примере.
Пример.
Найдите общее решение дифференциального уравнения 
.
Решение.
Проверим выполнение условия :
Таким образом, левая часть дифференциального уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0. Найдем эту функцию, вычислив криволинейный интеграл от точки (1; 1) до (x, y). В качестве пути интегрирования возьмем ломаную: первый участок ломаной пройдем по прямой y = 1 от точки (1, 1) до (x, 1), вторым участком пути возьмем отрезок прямой от точки (x, 1) до (x, y).
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид 
.
Пример.
Определите общее решение дифференциального уравнения 
.
Решение.
Так как 
, то условие не выполняется, следовательно, левая часть дифференциального уравнения не является полным дифференциалом функции и следует использовать другой способ решения (данное уравнение есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными).
Список литературы.
- Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
Некогда разбираться?