Дифференциальные уравнения, примеры, решения

Уравнения в полных дифференциалах.


Левые части дифференциальных уравнений вида формула иногда представляют собой полные дифференциалы некоторых функций. Если восстановить функцию по ее полному дифференциалу, то будет найден общий интеграл дифференциального уравнения. В этой статье опишем метод восстановления функции по ее полному дифференциалу, теоретический материал снабдим примерами и задачами с подробным описанием решения.

Левая часть дифференциального уравнения формула является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) = 0, если выполняется условие формула.

Так как полный дифференциал функции U(x, y) = 0 есть формула, то при выполнении условия формула можно утверждать, что формула. Следовательно, формула.

Из первого уравнения системы имеем формула. Функцию формула можно найти, используя второе уравнение системы:
формула

Так будет найдена искомая функция U(x, y) = 0.


Рассмотрим пример.

Пример.

Найти общее решение дифференциального уравнения формула.

Решение.

В этом примере формула. Условие формула выполняется, так как
формула
следовательно, левая часть исходного дифференциального уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0. Наша задача сводится к отысканию этой функции.

Так как формула есть полный дифференциал функции U(x, y) = 0 , то формула. Интегрируем по x первое уравнение системы формула и дифференцируем по y полученный результат формула. С другой стороны, из второго уравнения системы имеем формула. Следовательно,
формула
где С – произвольная постоянная.

Таким образом, формула и общим интегралом исходного уравнения является формула.

Существует другой метод нахождения функции по ее полному дифференциалу. Он заключается во взятии криволинейного интеграла от фиксированной точки (x0 , y0) до точки с переменными координатами (x, y): формула. В этом случае значение интеграла не зависит от пути интегрирования. Удобно брать в качестве пути интегрирования ломаную, звенья которой параллельны осям координат.

Рассмотрим на примере.


Пример.

Найдите общее решение дифференциального уравнения формула.

Решение.

Проверим выполнение условия формула:
формула

Таким образом, левая часть дифференциального уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0. Найдем эту функцию, вычислив криволинейный интеграл от точки (1; 1) до (x, y). В качестве пути интегрирования возьмем ломаную: первый участок ломаной пройдем по прямой y = 1 от точки (1, 1) до (x, 1), вторым участком пути возьмем отрезок прямой от точки (x, 1) до (x, y).
формула

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид формула.

Пример.

Определите общее решение дифференциального уравнения формула.

Решение.

Так как формула, то условие формула не выполняется, следовательно, левая часть дифференциального уравнения не является полным дифференциалом функции и следует использовать другой способ решения (данное уравнение есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными).



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

Профиль автора статьи в Google+