Дифференциальные уравнения, примеры, решения

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка.


В этой статье мы разберемся с решением самых простых дифференциальных уравнений первого порядка, которые не содержат неизвестной функции y. Такие дифференциальные уравнения либо уже разрешены относительно производной формула, либо их можно разрешить относительно производной формула.

Для начала желательно повторить основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.


Общее решение дифференциальных уравнений вида формула на заданном интервале X можно отыскать, проинтегрировав обе части этого равенства. Получим формула. Если обратиться к свойствам неопределенного интеграла, то придем к искомому общему решению y = F(x) + C, где F(x) – одна из первообразных функции f(x) на промежутке X, а С – произвольная постоянная.

Заметим, что во многих задачах интервал X не указывается. В этом случае подразумевается, что решение следует искать для всех x, при которых и искомая функция y, и исходное уравнение имеют смысл.

Если требуется найти частное решение дифференциального уравнения формула, удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0, то после нахождения общего интеграла y = F(x) + C, еще нужно вычислить значение постоянной C = C0, используя начальное условие. То есть, константа C = C0 определяется из уравнения F(x0) + C = y0, и искомое частное решение дифференциального уравнения будет иметь вид y = F(x) + C0. Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите общее решение дифференциального уравнения формула, проверьте правильность результата. Найдите частное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию формула.

Решение.

Проинтегрировав исходное дифференциальное уравнение, получим формула. Этот интеграл возьмем методом интегрирования по частям:
формула

Таким образом, формула - общее решение дифференциального уравнения.

Чтобы убедиться в правильности результата, проведем проверку. Для этого подставим полученное решение в исходное уравнение:
формула

Следовательно, при формула исходное уравнение обращается в тождество формула, поэтому общее решение дифференциального уравнения найдено правильно.

Отметим, что найденное решение является общим решением дифференциального уравнения для всех действительных значений аргумента x.

Осталось определить частное решение ОДУ, удовлетворяющее начальному условию формула. Иными словами, нужно найти такое значение константы С, при котором будет верно равенство формула.

Таким образом,
формула.

Следовательно, подставив С = 2 в общее решение ОДУ, получим частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию: формула.


Обыкновенное дифференциальное уравнение формула можно разрешить относительно производной, разделив обе части равенства на f(x). Такое преобразование будет эквивалентным, если f(x) не обращается в ноль ни при каких x из интервала интегрирования дифференциального уравнения X.

Возможны случаи, когда при некоторых значениях аргумента xX функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в ноль. Для таких значений x общим решением дифференциального уравнения формула является любая функция y, определенная в них, так как формула.

Если для некоторых значений аргумента xX выполняются условия формула, то в этом случае ОДУ формула решений не имеет.

Для остальных x из интервала X общее решение дифференциального уравнения определяется из преобразованного уравнения формула. Разберем на примерах.

Пример.

Найдите общее решение обыкновенного дифференциального уравнения формула.

Решение.

Из свойств основных элементарных функций мы знаем, что функция натурального логарифма определена для положительных значений аргумента, поэтому область определения функции y=ln(x+3) есть интервал x > -3. Следовательно, исходное дифференциальное уравнение имеет смысл для x > -3. При этих значениях аргумента выражение x + 3 не обращается в ноль, поэтому можно разрешить ОДУ относительно производной, разделив обе части на х + 3. Получаем формула.

Теперь осталось проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной: формула. Для взятия этого интеграла воспользуемся методом подведения под знак дифференциала: формула. Таким образом, формула - общее решение дифференциального уравнения при x > -3.

Пример.

Найти все решения дифференциального уравнения формула.

Решение.

Дифференциальное уравнение имеет смысл для всех действительных x. Если считать, что x0, то можно преобразовать ОДУ к виду формула. При x = 0 исходное уравнение обращается в тождество формула для любых функций формула, определенных при x = 0. Таким образом, при x = 0 решением дифференциального уравнения является любая функция y, определенная при нулевом аргументе.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение формула:
формула

Ответ:

формула - решение дифференциального уравнения, при x = 0 решением дифференциального уравнения является любая функция, определенная при этом значении аргумента.

Пример.

Найдите общее решение обыкновенного дифференциального уравнения формула.

Решение.

sinx обращается в ноль при формула. Для этих значений аргумента cosx0. Поэтому, при формула исходное дифференциальное уравнение решений не имеет. В этом случае мы можем разделить обе части равенства на sinx. Получим ОДУ, разрешенное относительно производной формула. Проинтегрируем его: формула. Таким образом, формула - общее решение дифференциального уравнения при формула.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

Профиль автора статьи в Google+