Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка.
В этой статье мы разберемся с решением самых простых дифференциальных уравнений первого порядка, которые не содержат неизвестной функции y. Такие дифференциальные уравнения либо уже разрешены относительно производной 
, либо их можно разрешить относительно производной 
.
Для начала желательно повторить основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.
Общее решение дифференциальных уравнений вида на заданном интервале X можно отыскать, проинтегрировав обе части этого равенства. Получим 
. Если обратиться к свойствам неопределенного интеграла, то придем к искомому общему решению y = F(x) + C, где F(x) – одна из первообразных функции f(x) на промежутке X, а С – произвольная постоянная.
Заметим, что во многих задачах интервал X не указывается. В этом случае подразумевается, что решение следует искать для всех x, при которых и искомая функция y, и исходное уравнение имеют смысл.
Если требуется найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0, то после нахождения общего интеграла y = F(x) + C, еще нужно вычислить значение постоянной C = C0, используя начальное условие. То есть, константа C = C0 определяется из уравнения F(x0) + C = y0, и искомое частное решение дифференциального уравнения будет иметь вид y = F(x) + C0. Рассмотрим пример.
Пример.
Найдите общее решение дифференциального уравнения 
, проверьте правильность результата. Найдите частное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию 
.
Решение.
Проинтегрировав исходное дифференциальное уравнение, получим 
. Этот интеграл возьмем методом интегрирования по частям:
Таким образом, 
- общее решение дифференциального уравнения.
Чтобы убедиться в правильности результата, проведем проверку. Для этого подставим полученное решение в исходное уравнение:
Следовательно, при исходное уравнение обращается в тождество 
, поэтому общее решение дифференциального уравнения найдено правильно.
Отметим, что найденное решение является общим решением дифференциального уравнения для всех действительных значений аргумента x.
Осталось определить частное решение ОДУ, удовлетворяющее начальному условию . Иными словами, нужно найти такое значение константы С, при котором будет верно равенство 
.
Таким образом,
.
Следовательно, подставив С = 2 в общее решение ОДУ, получим частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию: 
.
Обыкновенное дифференциальное уравнение можно разрешить относительно производной, разделив обе части равенства на f(x). Такое преобразование будет эквивалентным, если f(x) не обращается в ноль ни при каких x из интервала интегрирования дифференциального уравнения X.
Возможны случаи, когда при некоторых значениях аргумента x ∈ X функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в ноль. Для таких значений x общим решением дифференциального уравнения является любая функция y, определенная в них, так как 
.
Если для некоторых значений аргумента x ∈ X выполняются условия 
, то в этом случае ОДУ решений не имеет.
Для остальных x из интервала X общее решение дифференциального уравнения определяется из преобразованного уравнения 
. Разберем на примерах.
Пример.
Найдите общее решение обыкновенного дифференциального уравнения 
.
Решение.
Из свойств основных элементарных функций мы знаем, что функция натурального логарифма определена для положительных значений аргумента, поэтому область определения функции y=ln(x+3) есть интервал x > -3. Следовательно, исходное дифференциальное уравнение имеет смысл для x > -3. При этих значениях аргумента выражение x + 3 не обращается в ноль, поэтому можно разрешить ОДУ относительно производной, разделив обе части на х + 3. Получаем 
.
Теперь осталось проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной: 
. Для взятия этого интеграла воспользуемся методом подведения под знак дифференциала: 
. Таким образом, 
- общее решение дифференциального уравнения при x > -3.
Пример.
Найти все решения дифференциального уравнения 
.
Решение.
Дифференциальное уравнение имеет смысл для всех действительных x. Если считать, что x ≠ 0, то можно преобразовать ОДУ к виду 
. При x = 0 исходное уравнение обращается в тождество 
для любых функций 
, определенных при x = 0. Таким образом, при x = 0 решением дифференциального уравнения является любая функция y, определенная при нулевом аргументе.
Проинтегрируем дифференциальное уравнение :
Ответ:
- решение дифференциального уравнения, при x = 0 решением дифференциального уравнения является любая функция, определенная при этом значении аргумента.
Пример.
Найдите общее решение обыкновенного дифференциального уравнения 
.
Решение.
sinx обращается в ноль при 
. Для этих значений аргумента cosx ≠ 0. Поэтому, при исходное дифференциальное уравнение решений не имеет. В этом случае мы можем разделить обе части равенства на sinx. Получим ОДУ, разрешенное относительно производной 
. Проинтегрируем его: 
. Таким образом, 
- общее решение дифференциального уравнения при 
.
Список литературы.
- Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
Некогда разбираться?