Виды дифференциальных уравнений, методы решения.
В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.
Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.
Сначала рекомендуем ознакомиться с определениями и понятиями теории дифференциальных уравнений. Далее можно переходить к видам дифференциальных уравнений.
Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.
Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу методы интегрирования.
Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.
Напомним, что , если y является функцией аргумента x.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
-
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .
Запишем несколько примеров таких ДУ .
Дифференциальные уравнения можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x). В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x) ≠ 0. Примерами таких ОДУ являются .
Если существуют значения аргумента x, при которых функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .
В статье простейшие дифференциальные уравнения первого порядка. Вы можете ознакомиться с подробной теорией и посмотреть примеры решения таких ОДУ.
-
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида или .
Дифференциальные уравнения называют уравнениями с разделенными переменными.
Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него.
Общее решение дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно найти, проинтегрировав обе части равенства: ∫ f(y)dy = ∫ f(x)dx.
В качестве примеров ОДУ с разделенными переменными приведем .
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными приводятся к ОДУ с разделенными переменными делением обеих частей уравнения на произведение f2(y) ⋅ g1(x). То есть, получим . Такое преобразование будет эквивалентным, если одновременно f2(y) ≠ 0 и g1(x) ≠ 0. Иначе могут потеряться некоторые решения.
Примерами ОДУ с разделяющимися переменными являются .
Некоторые дифференциальные уравнения можно свести к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.
Дифференциальные уравнения приводятся к ОДУ с разделяющимися переменными подстановкой z = ax+by. К примеру, уравнение с помощью подстановки z = 2x+3y приобретает вид .
ОДУ или преобразуются к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замен или . Например, дифференциальное уравнение после замены принимает вид .
Некоторые дифференциальные уравнения следует немного преобразовать, чтобы можно провести замену. К примеру, достаточно разделить на x2 или y2 числитель и знаменатель правой части дифференциального уравнения , чтобы оно соответствовало случаям или соответственно.
Дифференциальные уравнения преобразуются к только что рассмотренным ОДУ или , если ввести новые переменные , где - решение системы линейных уравнений и провести некоторые преобразования.
Например, дифференциальное уравнение после введения новых переменных преобразуется к виду . Проводим деление на u числителя и знаменателя правой части полученного уравнения и принимаем . В результате приходим к уравнению с разделяющимися переменными .
В разделе дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными подробно разобрана теория и приведены подробные решения аналогичных примеров.
-
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка .
В качестве примеров линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка можно привести .
Для решения ЛНДУ используют метод вариации произвольной постоянной. Также существует метод, основанный на представлении искомой функции y в виде произведения: y(x) = u(x)v(x).
В статье линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка подробно изложены методы интегрирования таких ЛНДУ и приведены подробные решения примеров и задач.
-
Дифференциальное уравнение Бернулли .
Примерами дифференциальных уравнений Бернулли являются, например, .
Дифференциальное уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению первого порядка подстановкой .
Можно также пользоваться методом, основанным на представлении функции y как y(x) = u(x)v(x).
В разделе дифференциальное уравнение Бернулли подробно расписаны методы нахождения решений и разобраны решения примеров и задач.
-
Уравнения в полных дифференциалах .
Если для любых значений x и y выполняется , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0, то есть, dU(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y) = 0 по ее полному дифференциалу.
К примеру, левая часть дифференциального уравнения представляет собой полный дифференциал функции .
Подробное описание теории и решение примеров изложены в разделе уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения второго порядка.
-
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения . При различных p и q возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как , или , или соответственно.
Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3 и k 2 = 0. Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид
Подробное описание теории и разобранные решения примеров и задач смотрите в разделе линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
-
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x), стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем
Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
-
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .
Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.
Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке [a; b] представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, .
Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:
Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.
Примером ЛОДУ является .
Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примера ЛНДУ можно привести .
Теорию и решение примеров смотрите в разделе линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
-
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой .
В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y.
Например, дифференциальное уравнение после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.
Если дифференциальное уравнение не содержит аргумента x, то есть, имеет вид , то его порядок может быть снижен на единицу заменой , где p(y(x)) будет сложной функцией. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим
и так далее.Подставив эти результаты в исходное уравнение, получаем дифференциальное уравнение не единицу меньшего порядка.
К примеру, дифференциальное уравнение заменой приводится к уравнению с разделяющимися переменными .
Подробное решение подобных примеров представлено в статье дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка.
-
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и .
Чтобы определить общее решение таких видов дифференциальных уравнений, во-первых, требуется найти корни характеристического уравнения . В этом Вам может помочь статья решение уравнений высших степеней. Далее, отталкиваясь от значений корней характеристического уравнения, общее решение ЛОДУ записывается в стандартной форме, а общее решение неоднородного уравнения представляется суммой , где - частное решение неоднородного дифференциального уравнения. можно определить методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примера ЛНДУ с постоянными коэффициентами приведем , ему соответствует ЛОДУ .
Подробное описание теории и детальный разбор решения примеров смотрите в разделе линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
-
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков и .
Общее решение ЛНДУ высших порядков ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство в тождество. Частные решения обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.
Когда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения найдено, частное решение соответствующего неоднородного уравнения можно определить методом вариации произвольных постоянных.
Итак, .
Краткое описание теории приведено в статье линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Системы дифференциальных уравнений вида .
В разделе системы дифференциальных уравнений изложена суть их решения и разобраны примеры.
Список литературы.
- Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
Некогда разбираться?