Системы дифференциальных уравнений.
В этой статье мы разберем решение простейших систем дифференциальных уравнений вида 
, где a1, b1, c1, a2, b2, c2 - некоторые действительные числа. Сначала покажем метод интегрирования системы уравнений, далее подробно опишем решение примера.
Решением такой системы является пара функций x(t) и y(t), обращающая в тождества оба уравнения системы.
Опишем метод интегрирования систем дифференциальных уравнений .
Исключим неизвестную функцию x(t) из первого уравнения системы. Для этого выразим x из второго уравнения системы 
, продифференцируем по t второе уравнение системы и разрешим его относительно 
: 
.
Подставляем полученные результаты в первое уравнение системы, тем самым неизвестная функция x(t) будет исключена:
Так мы пришли к линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами. Находим его решение y(t). Подставив это решение во второе уравнение системы, находим x(t). На этом решение системы дифференциальных уравнений закончено.
Разберем пример.
Пример.
Найдите решение системы дифференциальных уравнений 
.
Решение.
Разрешим второе уравнение системы относительно x: 
. Продифференцируем второе уравнение системы и разрешим относительно 
: 
.
Подставляем полученные результаты в первое уравнение системы дифференциальных уравнений:
Так мы пришли к ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами 
. Определив его общее решение, мы получим функцию y(t).
Найдем сначала y0 - общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения.
Для этого вычислим корни характеристического уравнения 
:
Так как корни действительные и различные, то общее решение однородного дифференциального уравнения запишется как 
.
Переходим к нахождению 
- частного решения ЛНДУ .
Так как его правая часть представляет собой многочлен нулевой степени, то частное решение будем искать в виде 
, где A – неопределенный коэффициент.
Определим его из равенства 
:
Таким образом, 
и 
. Итак, одна неизвестная функция найдена.
Подставим эту функцию во второе уравнение системы дифференциальных уравнений и разрешим полученное равенство относительно x(t):
Так мы получили вторую неизвестную функцию 
.
Ответ:
.
Список литературы.
- Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
Некогда разбираться?