Дифференциальное уравнение Бернулли.
В этой статье мы разберем методы решения дифференциального уравнения Бернулли. Для закрепления материала подробно рассмотрим решение примеров.
Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид 
. При n = 1 это дифференциальное уравнение становится уравнением с разделяющимися переменными 
.
Одним из методов решения дифференциального уравнения Бернулли является сведение его к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка введением новой переменной 
. Действительно, при такой замене имеем 
и дифференциальное уравнение Бернулли примет вид
Так дифференциальное уравнение Бернулли приводится к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка. После решения этого уравнения и проведения обратной замены получаем искомое решение.
Разберем на примере.
Пример.
Найдите общее решение дифференциального уравнения Бернулли 
.
Решение.
В нашем примере 
. Введем новую переменную 
, тогда 
. После проведения замены переменной и небольших преобразований получаем ЛНДУ первого порядка
Решим его методом вариации произвольной постоянной.
Для этого сначала находим общее решение дифференциального уравнения 
.
z = 0 также является решением дифференциального уравнения , так как оно обращается в тождество при нулевой функции z. Этот случай можно описать равенством 
при C = 0. Таким образом, общим решением дифференциального уравнения является , где C – произвольная постоянная.
Теперь варьируем произвольную постоянную, то есть, принимаем 
общим решением дифференциального уравнения 
. Поэтому
где С3 – произвольная постоянная.
Таким образом, 
.
Осталось провести обратную замену. Так как мы принимали 
, то 
. Это и есть общее решение исходного дифференциального уравнения Бернулли.
Рассмотрим еще один метод решения дифференциального уравнения Бернулли, основанный на представлении искомой функции y в виде произведения функций u(x) и v(x).
В этом случае 
. После подстановки в уравнение Бернулли получаем
Если в качестве функции v взять ненулевое частное решение дифференциального уравнения 
, то придем к равенству
откуда и определим функцию u.
Решим пример этим способом, чтобы стало все понятно.
Пример.
Решите задачу Коши 
, y(0) = 1.
Решение.
Иными словами, нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию y(0)=1.
После деления обеих частей равенства на x2 + 1 становится понятно, что мы имеем дифференциальное уравнение Бернулли 
.
Сначала найдем общее решение.
Примем y = u ⋅ v, тогда и уравнение примет вид
Найдем частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными 
, отличное от нуля.
Возьмем в качестве частного решения 
.
Тогда
Прежде чем возьмем каждый из интегралов в отдельности, отметим, что u = 0 является решением.
Интеграл, стоящий в левой части 
, легко находится из таблицы первообразных:
Для нахождения интеграла 
примем arctgx = z и воспользуемся методом интегрирования по частям:
Таким образом,
Откуда 
и 
- все решения дифференциального уравнения Бернулли .
Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1. Так как 
, то 
. Следовательно,
.
Таким образом, 
- искомое решение задачи Коши.
Список литературы.
- Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
Некогда разбираться?