Дифференциальные уравнения, примеры, решения

Дифференциальное уравнение Бернулли.


В этой статье мы разберем методы решения дифференциального уравнения Бернулли. Для закрепления материала подробно рассмотрим решение примеров.

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид формула. При n = 1 это дифференциальное уравнение становится уравнением с разделяющимися переменными формула.

Одним из методов решения дифференциального уравнения Бернулли является сведение его к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка введением новой переменной формула. Действительно, при такой замене имеем формула и дифференциальное уравнение Бернулли примет вид
формула

Так дифференциальное уравнение Бернулли приводится к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка. После решения этого уравнения и проведения обратной замены получаем искомое решение.


Разберем на примере.

Пример.

Найдите общее решение дифференциального уравнения Бернулли формула.

Решение.

В нашем примере формула. Введем новую переменную формула, тогда формула. После проведения замены переменной и небольших преобразований получаем ЛНДУ первого порядка
формула

Решим его методом вариации произвольной постоянной.

Для этого сначала находим общее решение дифференциального уравнения формула.
формула

z = 0 также является решением дифференциального уравнения формула, так как оно обращается в тождество при нулевой функции z. Этот случай можно описать равенством формула при C = 0. Таким образом, общим решением дифференциального уравнения формула является формула, где C – произвольная постоянная.

Теперь варьируем произвольную постоянную, то есть, принимаем формула общим решением дифференциального уравнения формула. Поэтому
формула
где С3 – произвольная постоянная.

Таким образом, формула.
Осталось провести обратную замену. Так как мы принимали формула, то формула. Это и есть общее решение исходного дифференциального уравнения Бернулли.

Рассмотрим еще один метод решения дифференциального уравнения Бернулли, основанный на представлении искомой функции y в виде произведения функций u(x) и v(x).

В этом случае формула. После подстановки в уравнение Бернулли формула получаем
формула

Если в качестве функции v взять ненулевое частное решение дифференциального уравнения формула, то придем к равенству
формула
откуда и определим функцию u.


Решим пример этим способом, чтобы стало все понятно.

Пример.

Решите задачу Коши формула, y(0) = 1.

Решение.

Иными словами, нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения формула, удовлетворяющее начальному условию y(0)=1.

После деления обеих частей равенства на x2 + 1 становится понятно, что мы имеем дифференциальное уравнение Бернулли формула.

Сначала найдем общее решение.

Примем y = u ⋅ v, тогда формула и уравнение примет вид
формула

Найдем частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными формула, отличное от нуля.
формула

Возьмем в качестве частного решения формула.

Тогда
формула

Прежде чем возьмем каждый из интегралов в отдельности, отметим, что u = 0 является решением.

Интеграл, стоящий в левой части формула, легко находится из таблицы первообразных:
формула

Для нахождения интеграла формула примем arctgx = z и воспользуемся методом интегрирования по частям:
формула

Таким образом,
формула

Откуда формула и формула - все решения дифференциального уравнения Бернулли формула.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1. Так как формула, то формула. Следовательно, формула.

Таким образом, формула - искомое решение задачи Коши.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

Профиль автора статьи в Google+