Производная, нахождение производной

Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной.


Эту статью начнем с обзора необходимых определений и понятий.

Далее озвучим геометрический смысл производной, дадим пояснения и графическую иллюстрацию.

После этого перейдем к записи уравнения касательной прямой и приведем подробные решения самых характерных примеров и задач.

В заключении остановимся на нахождении уравнения касательной к кривым второго порядка, то есть, к окружности, эллипсу, гиперболе и параболе.


Определения и понятия.

Определение.

Углом наклона прямой y=kx+b называют угол формула, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс до прямой y=kx+b в положительном направлении (то есть, против часовой стрелки).

изображение

На рисунке положительное направление оси абсцисс показано горизонтальной зеленой стрелочкой, положительное направление отсчета угла изображено зеленой дугой, прямая показана синей линией, а угол наклона прямой - красной дугой.

Определение.

Угловым коэффициентом прямой y=kx+b называют числовой коэффициент k.

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой, то есть, формула.

Определение.

Прямую AB, проведенную через две точки графика функции y=f(x), называют секущей. Другими словами, секущая – это прямая, проходящая через две точки графика функции.

изображение

На рисунке секущая прямая AB изображена синей линией, график функции y=f(x) - черной кривой, угол наклона секущей формула - красной дугой.

Если принимать во внимание, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона (об этом говорили выше), и тангенс угла в прямоугольном треугольнике ABC есть отношение противолежащего катета к прилежащему (это определение тангенса угла), то для нашей секущей будет справедлива серия равенств формула, где формула - абсциссы точек А и В, формула - соответствующие значения функции.

То есть, угловой коэффициент секущей определяется равенством формула или формула, а уравнение секущей записывается в виде формула или формула (при необходимости обращайтесь к разделу уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку).

Секущая прямая разбивает график функции на три части: слева от точки А, от А до В и справа от точки В, хотя может иметь более чем две общих точки с графиком функции.

На рисунке ниже приведены три фактически разных секущих (точки А и В различны), но они совпадают и задаются одним уравнением.

изображение

Нам ни разу не встречались разговоры о секущей прямой для прямой. Но все же, если отталкиваться от определения, то прямая и ее секущая прямая совпадают.

В некоторых случаях секущая может иметь с графиком функции бесконечное число точек пересечения. Например, секущая, определяемая уравнением y=0, имеет бесконечное число общих точек с синусоидой.

Определение.

Касательной к графику функции y=f(x) в точке формула называют прямую, проходящую через точку формула, с отрезком которой практически сливается график функции при значениях х сколь угодно близких к формула.

Поясним это определение на примере. Покажем, что прямая y = x+1 является касательной к графику функции формула в точке (1; 2). Для этого покажем графики этих функций при приближении к точке касания (1; 2). Черным цветом показан график функции формула, касательная прямая показана синей линией, точка касания изображена красной точкой.

Каждый последующий рисунок является увеличенной областью предыдущего (эти области выделены красными квадратами).

изображение

Хорошо видно, что вблизи точки касания график функции формула практически сливается с касательной прямой y=x+1.

А сейчас перейдем к более значимому определению касательной.

Для этого покажем, что будет происходить с секущей АВ, если точку В бесконечно приближать к точке А.

Рисунок ниже иллюстрирует этот процесс.

изображение

Секущая АВ (показана синей пунктирной прямой) будет стремиться занять положение касательной прямой (показана синей сплошной линией), угол наклона секущей формула (показан красной прерывистой дугой) будет стремиться к углу наклона касательной формула (изображен красной сплошной дугой).

Определение.

Таким образом, касательная к графику функции y=f(x) в точке А – это предельное положение секущей AB при формула.

Вот теперь можно переходить к оописанию геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке.


Рассмотрим секущую АВ графика функции y=f(x) такую, что точки А и В имеют соответственно координаты формула и формула, где формула - приращение аргумента. Обозначим через формула приращение функции. Отметим все на чертеже:

изображение

Из прямоугольного треугольника АВС имеем формула. Так как по определению касательная – это предельное положение секущей, то формула.

Вспомним определение производной функции в точке: производной функции y=f(x) в точке формула называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при формула, обозначается формула.

Следовательно, формула, где формула - угловой коэффициент касательной.

Таким образом, существование производной функции y=f(x) в точке формула эквивалентно существованию касательной к графику функции y=f(x) в точке касания формула, причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке формула, то есть формула.

Заключаем: геометрический смысл производной функции в точке состоит в существовании касательной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной прямой.

Для записи уравнения любой прямой на плоскости достаточно знать ее угловой коэффициент и точку, через которую она проходит. Касательная прямая проходит через точку касания и ее угловой коэффициент для дифференцируемой функции равен значению производной в точке формула. То есть, из пункта геометрический смысл производной функции в точке мы можем взять все данные для записи уравнения касательной прямой.

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке формула имеет вид формула.

Мы подразумеваем, что существует конечное значение производной формула, в противном случае касательная прямая либо вертикальна (если формула и формула), либо не существует (если формула).

В зависимости от углового коэффициента формула, касательная может быть параллельна оси абсцисс (формула), параллельна оси ординат (формула в этом случае уравнение касательной будет иметь вид формула), возрастать (формула) или убывать (формула).

Самое время привести несколько примеров для пояснения.

Пример.

Составить уравнение касательной к графику функции формула в точке (-1;-3) и определить угол наклона.

Решение.

Функция определена для всех действительных чисел (при необходимости обращайтесь к статье область определения функции). Так как (-1;-3) – точка касания, то формула.

Находим производную (для этого может пригодиться материал статьи дифференцирование функции, нахождение производной) и вычисляем ее значение в точке формула:
формула

Так как значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной, а он равен тангенсу угла наклона, то формула.

Следовательно, угол наклона касательной равен формула, а уравнение касательной прямой имеет вид
формула

Графическая иллюстрация.

Черным цветом показан график исходной функции, касательная прямая изображена синей линией, точка касания - красной точкой. Рисунок справа представляет собой увеличенную область, обозначенную красным пунктирным квадратом на рисунке слева.

изображение

Пример.

Выяснить, существует ли касательная к графику функции формула в точке (1; 1), если да, то составить ее уравнение и определить угол ее наклона.

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел.

Находим производную:
формула

При формула производная не определена, но формула и формула, следовательно, в точке (1;1) существует вертикальная касательная, ее уравнение имеет вид x = 1, а угол наклона равен формула.

Графическая иллюстрация.

изображение

Пример.

Найти все точки графика функции формула, в которых:
a) касательная не существует; b) касательная параллельна оси абсцисс; c) касательная параллельна прямой формула.

Решение.

Как всегда начинаем с области определения функции. В нашем примере функция определена на всем множестве действительных чисел. Раскроем знак модуля, для этого рассмотрим два промежутка формула и формула:
формула

Продифференцируем функцию:
формула

При x=-2 производная не существует, так как односторонние пределы в этой точке не равны:
формула

Таким образом, вычислив значение функции при x=-2, мы можем дать ответ на пункт а): формула, касательная к графику функции не существует в точке (-2;-2).

b) Касательная параллельна оси абсцисс, если ее угловой коэффициент равен нулю (тангенс угла наклона равен нулю). Так как формула, то нам нужно найти все значения х, при которых производная функции обращается в ноль. Эти значения и будут абсциссами точек касания, в которых касательная параллельна оси Ox.

При формула решаем уравнение формула, а при формула - уравнение формула:
формула

Осталось вычислить соответствующие значения функции:
формула

Поэтому, формула - искомые точки графика функции.

Графическая иллюстрация.

График исходной функции изображен черной линией, красными точками отмечены найденные точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс.

изображение

c) Если две прямые на плоскости параллельны, то их угловые коэффициенты равны (об этом написано в статье параллельные прямые, параллельность прямых). Исходя из этого утверждения, нам нужно найти все точки графика функции, в которых угловой коэффициент касательной равен восьми пятым. То есть, нам нужно решить уравнение формула. Таким образом, при формула решаем уравнение формула, а при формула - уравнение формула.

Дискриминант первого уравнения отрицателен, следовательно, оно не имеет действительных корней:
формула

Второе уравнение имеет два действительных корня:
формула

Находим соответствующие значения функции:
формула

В точках формула касательные к графику функции параллельны прямой формула.

Графическая иллюстрация.

График функции изображен черной линией, красной линией показан график прямой формула, синими линиями показаны касательные к графику функции в точках формула.

изображение

Для тригонометрических функций в силу их периодичности, может существовать бесконечно много касательных прямых, имеющих один угол наклона (одинаковый угловой коэффициент).

Пример.

Написать уравнения всех касательных к графику функции формула, которые перпендикулярны прямой формула.

Решение.

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции нам достаточно знать ее угловой коэффициент и координаты точки касания.

Угловой коэффициент касательных формула найдем из условия перпендикулярности прямых: произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно минус единице, то есть формула. Так как по условию угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен формула, то формула.

Приступим к нахождению координат точек касания. Для начала найдем абсциссы, затем вычислим соответствующие значения функции – это будут ординаты точек касания.

При описании геометрического смысла производной функции в точке формула мы отметили, что формула. Из этого равенства найдем абсциссы точек касания.
формула

Мы пришли к тригонометрическому уравнению. Просим обратить на него внимание, так как позже мы его используем при вычислении ординат точек касания. Решаем его (при затруднениях обращайтесь к разделу решение тригонометрических уравнений):
формула

Абсциссы точек касания найдены, вычислим соответствующие ординаты (здесь используем равенство, на которое мы просили обратить внимание чуть выше):
формула

Таким образом, формула - все точки касания. Следовательно, искомые уравнения касательных имеют вид:
формула

Графическая иллюстрация.

На рисунке черной кривой показан график исходной функции на отрезке [-10;10], синими линиями изображены касательные прямые. Хорошо видно, что они перпендикулярны красной прямой формула. Точки касания отмечены красными точками.

изображение

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе.

До этого момента мы занимались нахождением уравнений касательных к графикам однозначных функций вида y = f(x) в различных точках. Канонические уравнения кривых второго порядка не являются однозначными функциями. Но окружность, эллипс, гиперболу и параболу мы можем представить комбинацией двух однозначных функций и уже после этого составлять уравнения касательных по известной схеме.

Касательная к окружности.

Окружность с центром в точке формула и радиусом R задается равенством формула.

Запишем это равенство в виде объединения двух функций:
формула

Здесь первая функция соответствует верхней полуокружности, вторая - нижней.

изображение

Таким образом, чтобы составить уравнение касательной к окружности в точке формула, принадлежащей верхней (или нижней) полуокружности, мы находим уравнение касательной к графику функции формула (или формула) в указанной точке.

Легко показать, что в точках окружности с координатами формула и формула касательные параллельны оси абсцисс и задаются уравнениями формула и формула соответственно (на рисунке ниже они показаны синими точками и синими прямыми), а в точках формула и формула - параллельны оси ординат и имеют уравнения формула и формула соответственно (на рисунке ниже они отмечены красными точками и красными прямыми).

изображение

Касательная к эллипсу.

Эллипс с центром в точке формула с полуосями a и b задается уравнением формула.

Эллипс также как и окружность можно задать объединением двух функций - верхнего и нижнего полуэллипса:
формула

изображение

Касательные в вершинах эллипса параллельны либо оси абсцисс (на рисунке ниже изображены синими прямыми), либо оси ординат (на рисунке ниже изображены красными прямыми).

изображение

Пример.

Написать уравнения касательных к эллипсу формула в точках с абсциссами x=2.

Решение.

Найдем сначала ординаты точек касания, соответствующих абсциссам x=2. Для этого подставим значение x=2 в уравнение эллипса и решим полученное уравнение относительно y:
формула

Таким образом, получаем две точки касания формула и формула, принадлежащие верхнему и нижнему полуэллипсу соответственно.

Найдем уравнения полуэллипсов, для этого разрешим уравнение эллипса относительно y:
формула

То есть, верхний полуэллипс задается функцией формула, а нижний - формула.

Теперь можем действовать по стандартному алгоритму для составления уравнения касательной к графику функции в точке.

Первая касательная в точке формула:
формула

Вторая касательная в точке формула:
формула

Графическая иллюстрация.

изображение

Касательная к гиперболе.

Гипербола с центром в точке формула и вершинами формула и формула задается равенством формула(рисунок ниже слева), а с вершинами формула и формула - равенством формула (рисунок ниже справа).

изображение

В виде объединения двух функций гипербола представима как

формула или формула.

изображение

В вершинах гиперболы касательные параллельны оси Оу для первого случая и параллельны оси Ох для второго.

Таким образом, для нахождения уравнения касательной к гиперболе, выясняем какой функции принадлежит точка касания, и действуем обычным образом.

Возникает логичный вопрос, как определить какой из функций принадлежит точка. Для ответа на него подставляем координаты в каждое уравнение и смотрим, какое из равенств обращается в тождество. Рассмотрим это на примере.

Пример.

Составьте уравнение касательной к гиперболе формула в точке формула.

Решение.

Запишем гиперболу в виде двух функций:
формула

Выясним к какой функции принадлежит точка касания формула.

Для первой функции формула, следовательно, точка не принадлежит графику этой функции.

Для второй функции формула, следовательно, точка принадлежит графику этой функции.

Находим угловой коэффициент касательной:
формула

Таким образом, уравнение касательной имеет вид формула.

Графическая иллюстрация.

изображение

Касательная к параболе.

Для составления уравнения касательной к параболе вида формула в точке формула пользуемся стандартной схемой, и уравнение касательной записываем как формула. Касательная к графику такой параболы в вершине параллельна оси Ох.

Параболу формула сначала зададим объединением двух функций. Для этого разрешим это уравнение относительно y:
формула

изображение

Теперь выясняем к какой из функций принадлежит точка касания формула и действуем по стандартной схеме.

Касательная к графику такой параболы в вершине параллельна оси Оу.

Пример.

Написать уравнение касательной к графику параболы формула, если угол наклона касательной равен формула.

Решение.

Представим параболу через две функции:
формула

Мы знаем, что угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке формула и равен тангенсу угла наклона: формула. Из этого равенства мы можем найти абсциссу точки касания.

Для первой функции:
формула

Полученное уравнение действительных корней не имеет, следовательно, к этой функции не существует касательной с углом наклона формула.

Для второй функции:
формула

Получаем точку касания формула.

Таким образом, уравнение искомой касательной имеет вид формула.

Графическая иллюстрация.

изображение



Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+