Производная, нахождение производной

Производная параметрически заданной функции.


формула

В зависимости от правила, устанавливающего зависимость между множествами значений величин x и y, различают несколько способов задания функции. Наиболее привычным является представление функции в явном виде формула. Однако, в некоторых случаях удобно описывать функциональную зависимость множеством пар значений (x; y), которые вычисляются для каждого значения параметра t из промежутка (a; b). К примеру, все пары значений формула при формула задают окружность с центром в начале координат радиуса 3.


Определение параметрически заданной функции.

Таким образом, если формула определены при формула и существует обратная функция формула для формула, то говорят о параметрическом задании функции формула.

При исследовании параметрически заданной функции иногда приходится находить ее производную по аргументу x. В этой статье мы выведем формулу производной параметрически заданной функции формула, также остановимся на производной второго и n-ого порядка.

Вывод формулы производной параметрически заданной функции.

Пусть формула определены и дифференцируемы при формула, причем формула и формула имеет обратную функцию формула.

Сначала переходим от параметрического задания к явному. При этом получаем сложную функцию формула, аргументом которой является x.

По правилу нахождения производной сложной функции имеем: формула. Так как формула и формула обратные функции, то по формуле производной обратной функции формула, поэтому формула.

Давайте рассмотрим несколько примеров.


Дальнейшее изложение предполагает умение пользоваться таблицей производных, правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.

Пример.

Найти производную параметрически заданной функции формула

Решение.

В данном примере формула, поэтому формула. Используем выведенную формулу и сразу записываем ответ:
формула

Ответ:

формула.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ, что производная функции по аргументу x также задается через параметр t, поэтому в ответе нужно указывать и выражение аргумента x через параметр t (строчка переписывается из условия), иначе потеряется связь между значениями производной параметрически заданной функции и аргументом, которому эти значения соответствуют.

Для нахождения производной второго порядка параметрически заданной функции, можно к найденной производной первого порядка вновь применить формулу:
формула

Пример.

Найти производные первого и второго порядков функции, заданной параметрически формула

Решение.

Имеем формула, поэтому
формула

Следовательно, формула.

То есть, производная первого порядка имеет вид: формула.

Еще раз используем формулу, для нахождения производной второго порядка:
формула

То есть, производная второго порядка параметрически заданной функции имеет вид
формула

Можно было поступить немного иначе:
формула

Следовательно,
формула

Аналогично находятся производные высших порядков параметрически заданных функций.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+