Производная параметрически заданной функции.
В зависимости от правила, устанавливающего зависимость между множествами значений величин x и y, различают несколько способов задания функции. Наиболее привычным является представление функции в явном виде 
. Однако, в некоторых случаях удобно описывать функциональную зависимость множеством пар значений (x; y), которые вычисляются для каждого значения параметра t из промежутка (a; b). К примеру, все пары значений 
при 
задают окружность с центром в начале координат радиуса 3.
Определение параметрически заданной функции.
Таким образом, если 
определены при 
и существует обратная функция 
для 
, то говорят о параметрическом задании функции 
.
При исследовании параметрически заданной функции иногда приходится находить ее производную по аргументу x. В этой статье мы выведем формулу производной параметрически заданной функции 
, также остановимся на производной второго и n-ого порядка.
Вывод формулы производной параметрически заданной функции.
Пусть определены и дифференцируемы при , причем 
и имеет обратную функцию .
Сначала переходим от параметрического задания к явному. При этом получаем сложную функцию 
, аргументом которой является x.
По правилу нахождения производной сложной функции имеем: 
. Так как и обратные функции, то по формуле производной обратной функции 
, поэтому 
.
Давайте рассмотрим несколько примеров.
Дальнейшее изложение предполагает умение пользоваться таблицей производных, правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.
Пример.
Найти производную параметрически заданной функции 
Решение.
В данном примере 
, поэтому 
. Используем выведенную формулу и сразу записываем ответ:
Ответ:
.
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ, что производная функции по аргументу x также задается через параметр t, поэтому в ответе нужно указывать и выражение аргумента x через параметр t (строчка переписывается из условия), иначе потеряется связь между значениями производной параметрически заданной функции и аргументом, которому эти значения соответствуют.
Для нахождения производной второго порядка параметрически заданной функции, можно к найденной производной первого порядка вновь применить формулу:
Пример.
Найти производные первого и второго порядков функции, заданной параметрически 
Решение.
Имеем 
, поэтому
Следовательно, 
.
То есть, производная первого порядка имеет вид: 
.
Еще раз используем формулу, для нахождения производной второго порядка:
То есть, производная второго порядка параметрически заданной функции имеет вид
Можно было поступить немного иначе:
Следовательно,
Аналогично находятся производные высших порядков параметрически заданных функций.
Некогда разбираться?