Производная, нахождение производной

Логарифмическая производная. Дифференцирование показательно степенной функции.


изображение

При дифференцировании показательно степенной функции формула или громоздких дробных выражений удобно пользоваться логарифмической производной. В этой статье мы рассмотрим примеры ее применения с подробными решениями.

Дальнейшее изложение подразумевает умение пользоваться таблицей производных, правилами дифференцирования и знание формулы производной сложной функции.


Вывод формулы логарифмической производной.

Сначала производим логарифмирование по основанию e, упрощаем вид функции, используя свойства логарифма, и далее находим производную неявно заданной функции:
формула

Для примера найдем производную показательно степенной функции x в степени x.

Логарифмирование дает формула. По свойствам логарифма формула. Дифференцирование обеих частей равенства приводит к результату:
формула

Ответ: формула.

Этот же пример можно решить и без использования логарифмической производной. Можно провести некоторые преобразования и перейти от дифференцирования показательно степенной функции к нахождению производной сложной функции:
формула

Пример.

Найти производную функции формула.

Решение.

В этом примере функция формула представляет собой дробь и ее производную можно искать с использованием правил дифференцирования. Но в силу громоздкости выражения это потребует множества преобразований. В таких случаях разумнее использовать формулу логарифмической производной формула. Почему? Вы сейчас поймете.

Найдем сначала формула. В преобразованиях будем использовать свойства логарифма (логарифм дроби равен разности логарифмов, а логарифм произведения равен сумме логарифмов, и еще степень у выражения под знаком логарифма можно вынести как коэффициент перед логарифмом):
формула

Эти преобразования привели нас к достаточно простому выражению, производная которого легко находится:
формула

Подставляем полученный результат в формулу логарифмической производной и получаем ответ:
формула

Для закрепления материала приведем еще пару примеров без подробных объяснений.


Пример.

Найдите производную показательно степенной функции формула

Решение.

формула

Пример.

Найдите производную функции формула.

Решение.

Воспользуемся формулой логарифмической производной:
формула



Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+