Производная, нахождение производной

Производная обратной функции.


Перед началом изучения данной статьи рекомендуем вспомнить определение и свойства обратной функции.

Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, формула - это производная функции f(x) по x.


Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.

Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах формула и формула соответственно. Если в точке формула существует конечная отличная от нуля производная функции f(x), то в точке формула существует конечная производная обратной функции g(y), причем формула. В другой записи формула.

Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка формула, тогда получим формула.

Давайте проверим справедливость этих формул.

Найдем обратную функцию для натурального логарифма формула (здесь y – функция, а x - аргумент). Разрешив это уравнение относительно x, получим формула (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, формула и формула взаимно обратные функции.

Из таблицы производных видим, что формула и формула.

Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам:
формула

Как видите, получили такие же результаты как и в таблице производных.

Теперь мы обладаем знаниями для доказательства формул производных обратных тригонометрических функций.


Начнем с производной арксинуса.

Для формула обратной функцией является формула. Тогда по формуле производной обратной функции получаем
формула

Осталось провести преобразования.

Так как областью значений арксинуса является интервал формула, то формула (смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). Поэтому формула, а формула не рассматриваем.

Следовательно, формула. Областью определения производной арксинуса является промежуток (-1; 1).

Для арккосинуса все делается абсолютно аналогично:
формула

Найдем производную арктангенса.

Для формула обратной функцией является формула.
формула

Выразим арктангенс через арккосинус, чтобы упростить полученное выражение.

Пусть arctgx = z, тогда
формула

Следовательно,
формула

Схожим образом находится производная арккотангенса:
формула



Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+