Производная обратной функции.
Перед началом изучения данной статьи рекомендуем вспомнить определение и свойства обратной функции.
Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, 
- это производная функции f(x) по x.
Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.
Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах 
и 
соответственно. Если в точке 
существует конечная отличная от нуля производная функции f(x), то в точке 
существует конечная производная обратной функции g(y), причем 
. В другой записи 
.
Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка 
, тогда получим 
.
Давайте проверим справедливость этих формул.
Найдем обратную функцию для натурального логарифма 
(здесь y – функция, а x - аргумент). Разрешив это уравнение относительно x, получим 
(здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, и 
взаимно обратные функции.
Из таблицы производных видим, что 
и 
.
Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам:
Как видите, получили такие же результаты как и в таблице производных.
Теперь мы обладаем знаниями для доказательства формул производных обратных тригонометрических функций.
Начнем с производной арксинуса.
Для 
обратной функцией является 
. Тогда по формуле производной обратной функции получаем
Осталось провести преобразования.
Так как областью значений арксинуса является интервал 
, то 
(смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). Поэтому 
, а 
не рассматриваем.
Следовательно, 
. Областью определения производной арксинуса является промежуток (-1; 1).
Для арккосинуса все делается абсолютно аналогично:
Найдем производную арктангенса.
Для 
обратной функцией является 
.
Выразим арктангенс через арккосинус, чтобы упростить полученное выражение.
Пусть arctgx = z, тогда
Следовательно,
Схожим образом находится производная арккотангенса:
Некогда разбираться?