Производная неявно заданной функции.
Несомненно, в нашем сознании образ функции ассоциируется с равенством 
и соответствующей ему линией – графиком функции. Например, 
- функциональная зависимость, графиком которой является квадратичная парабола с вершиной в начале координат и направленными вверх ветвями; 
- функция синуса, известная своими волнами.
В этих примерах в левой части равенства находится y, а в правой части – выражение, зависящее от аргумента x. Другими словами, имеем уравнение, разрешенное относительно y. Представление функциональной зависимости в виде такого выражения называется явным заданием функции (или функцией в явном виде). И этот тип задания функции является для нас наиболее привычным. В большинстве примеров и задач нам предстают именно явные функции. Про дифференцирование функций одной переменной, заданных в явном виде, мы уже в деталях поговорили.
Однако, функция подразумевает соответствие между множеством значений величины x и множеством значений y, причем это соответствие НЕ обязательно устанавливается какой-либо формулой или аналитическим выражением. То есть, существует множество способов задания функции помимо привычного 
.
В данной статье мы рассмотрим неявные функции и способы нахождения их производных. В качестве примеров функций, заданных неявно, можно привести 
или 
.
Как Вы заметили, неявная функция определяется соотношением 
. Но не все такие соотношения между x и y задают функцию. Например, ни одна пара действительных чисел x и y не удовлетворяет равенству 
, следовательно, это соотношение неявную функцию не задает.
может неявно определять закон соответствия между величинами x и y, причем каждому значению аргумента x может соответствовать как одно (в этом случае имеем однозначную функцию) так и несколько значений функции (в этом случае функцию называют многозначной). К примеру, значению x = 1 соответствует два действительных значения y = 2 и y = -2 неявно заданной функции .
Неявную функцию привести к явному виду далеко не всегда возможно, иначе не пришлось бы дифференцировать сами неявные функции. Например, 
- не преобразовывается к явному виду, а 
- преобразовывается.
Теперь к делу.
Чтобы найти производную неявно заданной функции, необходимо продифференцировать обе части равенства по аргументу x, считая y – функцией от x, и после этого выразить 
.
Дифференцирование выражений, содержащих x и y(x), проводится с использованием правил дифференцирования и правила нахождения производной сложной функции. Давайте сразу подробно разберем несколько примеров, чтобы дальше не было вопросов.
Пример.
Продифференцировать выражения 
по x, считая y функцией от x.
Решение.
Так как y – это функция от x, то 
- это сложная функция. Ее можно условно представить как f(g(x)), где f – функция возведения в куб, а g(x) = y. Тогда, по формуле производной сложной функции имеем: 
.
При дифференцировании второго выражения выносим константу за знак производной и действуем как в предыдущем случае (здесь f – функция синуса, g(x) = y):
Для третьего выражения применяем формулу производной произведения:
Последовательно применяя правила, продифференцируем последнее выражение:
Вот теперь можно переходить к нахождению производной неявно заданной функции, для этого все знания есть.
Пример.
Найти производную неявной функции 
.
Решение.
Производная неявно заданной функции всегда представляется в виде выражения, содержащего x и y: 
. Чтобы прийти к такому результату, продифференцируем обе части равенства:
Разрешим полученное уравнение относительно производной:
Ответ:
.
ЗАМЕЧАНИЕ.
-
Можно было перед нахождением производной привести уравнение к виду
-
Можно было сначала провести преобразование
и после этого выполнять дифференцирование. В этом случае мы придем к другой записи производной:
По сути, эти записи эквивалентны, так как, если в числитель выражения подставить 
(из условия), то получим
.
Для закрепления материала решим еще пример.
Пример.
Найти производную неявно заданной функции 
.
Решение.
Продифференцируем обе части равенства:
Осталось только разрешить уравнение относительно производной:
Заметим, что функция в данном примере может быть представлена в явном виде:
Давайте ее продифференцируем и проверим результат, полученный выше.
Чтобы убедиться в том, что ответы совпадают, преобразуем вид производной, полученной при дифференцировании неявной функции:
Как видите, ответы получились одинаковыми, так что все сделано правильно.
Приведем еще один способ нахождения производной неявно заданной функции, с использованием понятия частной производной функции двух переменных.
Если рассматривать как функцию двух независимых переменных x и y, то 
, где 
и 
- частные производные по x и по y соответственно.
Применим эту формулу к предыдущему примеру.
Результат остался неизменным.
Удачных решений!
Можете ознакомиться с разделом производная параметрически заданной функции.
Некогда разбираться?