Производная неявно заданной функции.

Несомненно, в нашем сознании образ функции ассоциируется с равенством формула и соответствующей ему линией – графиком функции. Например, формула - функциональная зависимость, графиком которой является квадратичная парабола с вершиной в начале координат и направленными вверх ветвями; формула - функция синуса, известная своими волнами.

В этих примерах в левой части равенства находится y, а в правой части – выражение, зависящее от аргумента x. Другими словами, имеем уравнение, разрешенное относительно y. Представление функциональной зависимости в виде такого выражения называется явным заданием функции (или функцией в явном виде). И этот тип задания функции является для нас наиболее привычным. В большинстве примеров и задач нам предстают именно явные функции. Про дифференцирование функций одной переменной, заданных в явном виде, мы уже в деталях поговорили.

Однако, функция подразумевает соответствие между множеством значений величины x и множеством значений y, причем это соответствие НЕ обязательно устанавливается какой-либо формулой или аналитическим выражением. То есть, существует множество способов задания функции помимо привычного формула.

В данной статье мы рассмотрим неявные функции и способы нахождения их производных. В качестве примеров функций, заданных неявно, можно привести формула или формула.

Как Вы заметили, неявная функция определяется соотношением формула. Но не все такие соотношения между x и y задают функцию. Например, ни одна пара действительных чисел x и y не удовлетворяет равенству формула, следовательно, это соотношение неявную функцию не задает.

формула может неявно определять закон соответствия между величинами x и y, причем каждому значению аргумента x может соответствовать как одно (в этом случае имеем однозначную функцию) так и несколько значений функции (в этом случае функцию называют многозначной). К примеру, значению x = 1 соответствует два действительных значения y = 2 и y = -2 неявно заданной функции формула.

Неявную функцию формула привести к явному виду далеко не всегда возможно, иначе не пришлось бы дифференцировать сами неявные функции. Например, формула - не преобразовывается к явному виду, а формула - преобразовывается.

Теперь к делу.

Чтобы найти производную неявно заданной функции, необходимо продифференцировать обе части равенства формула по аргументу x, считая y – функцией от x, и после этого выразить формула.

Дифференцирование выражений, содержащих x и y(x), проводится с использованием правил дифференцирования и правила нахождения производной сложной функции. Давайте сразу подробно разберем несколько примеров, чтобы дальше не было вопросов.

Пример.

Продифференцировать выражения формула по x, считая y функцией от x.

Решение.

Так как y – это функция от x, то формула - это сложная функция. Ее можно условно представить как f(g(x)), где f – функция возведения в куб, а g(x) = y. Тогда, по формуле производной сложной функции имеем: формула.

При дифференцировании второго выражения выносим константу за знак производной и действуем как в предыдущем случае (здесь f – функция синуса, g(x) = y):
формула

Для третьего выражения применяем формулу производной произведения:
формула

Последовательно применяя правила, продифференцируем последнее выражение:
формула

Вот теперь можно переходить к нахождению производной неявно заданной функции, для этого все знания есть.

Пример.

Найти производную неявной функции формула.

Решение.

Производная неявно заданной функции всегда представляется в виде выражения, содержащего x и y: формула. Чтобы прийти к такому результату, продифференцируем обе части равенства:
формула

Разрешим полученное уравнение относительно производной:
формула

Ответ:

формула.

ЗАМЕЧАНИЕ.

  • Можно было перед нахождением производной привести уравнение к виду
    формула
  • Можно было сначала провести преобразование формула и после этого выполнять дифференцирование. В этом случае мы придем к другой записи производной:
    формула
    По сути, эти записи эквивалентны, так как, если в числитель выражения формула подставить формула (из условия), то получим
    формула.

Для закрепления материала решим еще пример.

Пример.

Найти производную неявно заданной функции формула.

Решение.

Продифференцируем обе части равенства:
формула

Осталось только разрешить уравнение относительно производной:
формула

Заметим, что функция в данном примере может быть представлена в явном виде:
формула

Давайте ее продифференцируем и проверим результат, полученный выше.
формула

Чтобы убедиться в том, что ответы совпадают, преобразуем вид производной, полученной при дифференцировании неявной функции:
формула

Как видите, ответы получились одинаковыми, так что все сделано правильно.

Приведем еще один способ нахождения производной неявно заданной функции, с использованием понятия частной производной функции двух переменных.

Если рассматривать формула как функцию двух независимых переменных x и y, то формула, где формула и формула - частные производные по x и по y соответственно.

Применим эту формулу к предыдущему примеру.
формула

Результат остался неизменным.

Удачных решений!

Можете ознакомиться с разделом производная параметрически заданной функции.

Профиль автора статьи в Google+