Таблица производных. Доказательство формул.

таблица производных

Рекомендуем все время держать таблицу производных перед глазами при изучении этого раздела. Давайте рассмотрим вывод формул этой таблицы. Другими словами, докажем формулы производных для каждого вида функций.

Производная постоянной.

При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производной функции в точке. Возьмем формула, где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции формула. Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при формула:
формула

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение формула, которое не является неопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции формула равна нулю на всей области определения.

Пример.

Найти производные следующих постоянных функций формула

Решение.

В первом случае мы имеем производную натурального числа 3, во втором случае нам приходится брать производную от параметра а, который может быть любым действительным числом, в третьем - производную иррационального числа формула, в четвертом случае имеем производную нуля (ноль является целым числом), в пятом – производную рациональной дроби формула.

Ответ:

производные всех этих функций равны нулю для любого действительного x (на всей области определения)
формула

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид формула, где показатель степени p – любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:
формула

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:
формула

Следовательно,
формула

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

При доказательстве формулы для любого действительного p, отличного от нуля, воспользуемся логарифмической производной (не путайте с производной логарифмической функции). Для понимания процесса, рекомендуем сначала ознакомиться с производной логарифмической функции, а также разобраться с разделами теории производная неявно заданной функции и производная сложной функции.

Следует рассмотреть два случая: при положительных x и отрицательных x.

Сначала будем полагать формула. В этом случае формула. Выполним логарифмирование равенства формула по основанию e и применим свойство логарифма:
формула

Пришли к неявно заданной функции. Находим ее производную:
формула

Осталось провести доказательство для отрицательных x.

Когда показатель p представляет собой четное число, то степенная функция определена и при формула, причем является четной (смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). То есть, формула. В этом случае формула и также можно использовать доказательство через логарифмическую производную.

Когда показатель p представляет собой нечетное число, то степенная функция определена и при формула, причем является нечетной. То есть, формула. В этом случае формула и логарифмическую производную использовать нельзя. Для доказательства формулы формула в этом случае можно воспользоваться правилами дифференцирования и правилом нахождения производной сложной функции:
формула

Последний переход возможен в силу того, что если p - нечетное число, то p-1 либо четное число, либо нуль (при p=1), поэтому, для отрицательных x справедливо равенство формула.

Таким образом, формула производной степенной функции доказана для любого действительного p.

Пример.

Найти производные функций формула.

Решение.

Первую и третью функцию приведем к табличному виду формула, используя свойства степени, и применим формулу производной степенной функции:
формула

Производная показательной функции.

Вывод формулы производной приведем на основе определения:
формула

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную формула, причем формула при формула. Тогда формула. В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.

Выполним подстановку в исходный предел:
формула

Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:
формула

Пример.

Найти производные показательных функций формула.

Решение.

Воспользуемся доказанной выше формулой производной показательной функции из таблицы и свойствами логарифма.
формула

Производная логарифмической функции.

Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:
формула

Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство формула справедливо в силу второго замечательного предела.

Пример.

Вычислить производные логарифмических функций формула.

Решение.

Формулу мы уже вывели, так давайте ею и воспользуемся (в первом случае основание логарифма равно натуральному логарифму трех a = ln3, во втором a = e):
формула

Таким образом, производная натурального логарифма равна единице деленной на x.

Производные тригонометрических функций.

Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.

По определению производной для функции синуса имеем формула.

Воспользуемся формулой разности синусов:
формула

Осталось обратиться к первому замечательному пределу:
формула

Таким образом, производная функции sin x есть cos x.

Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.
формула

Следовательно, производная функции cos x есть –sin x.

Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).
формула

Производные обратных тригонометрических функций.

Доказательство формул производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса подробно рассмотрено в разделе производная обратной функции, поэтому не будем повторяться.

Производные гиперболических функций.

Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
формула

При решении задач дифференцирования мы будем постоянно обращаться к таблице производных основных функций, иначе зачем мы ее составляли и доказывали каждую формулу. Рекомендуем запомнить все эти формулы, в дальнейшем это сэкономит Вам массу времени.

Профиль автора статьи в Google+