Производная, нахождение производной

Производная, основные определения и понятия.


В этой статье дадим основные понятия, на которых будет базироваться вся дальнейшая теория по теме производная функции одной переменной.

Путь x – аргумент функции f(x) и формула - малое число, отличное от нуля.

формула (читается «дельта икс») называют приращением аргумента функции. На рисунке красной линией показано изменение аргумента от значения x до значения формула (отсюда видна суть названия «приращение» аргумента).


При переходе от значения аргумента формула к формула значения функции изменяются соответственно от формула до формула при условии монотонности функции на отрезке формула. Разность формула называют приращением функции f(x), соответствующем данному приращению аргумента. На рисунке приращение функции показано синей линией.

изображение

Рассмотрим эти понятия на конкретном примере.

Возьмем, к примеру, функцию формула. Зафиксируем точку формула и приращение аргумента формула. В этом случае приращение функции при переходе от формула к формула будет равно
формула

Отрицательное приращение формула говорит об убывании функции на отрезке формула.

Графическая иллюстрация

изображение

Определение производной функции в точке.

Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b), формула и формула - точки этого промежутка. Производной функции f(x) в точке формула называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при формула. Обозначается формула.

Когда последний предел принимает конкретное конечное значение, то говорят о существовании конечной производной в точке. Если предел бесконечен, то говорят, что производная бесконечна в данной точке. Если же предел не существует, то и производная функции в этой точке не существует.

Функцию f(x) называют дифференцируемой в точке формула, когда она имеет в ней конечную производную.

Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка (a; b), то функцию называют дифференцируемой на этом промежутке. Таким образом, любой точке x из промежутка (a; b) можно поставить в соответствие значение производной функции в этой точке формула, то есть, мы имеем возможность определить новую функцию формула, которую называют производной функции f(x) на интервале (a; b).

Операция нахождения производной называется дифференцированием.


Проведем разграничения в природе понятий производной функции в точке и на промежутке: производная функции в точке – это есть число, а производная функции на промежутке – это есть функция.

Давайте разберем это на примерах для ясности картины. При дифференцировании будем пользоваться определением производной, то есть переходить к нахождению пределов. При возникновении трудностей рекомендуем обращаться к разделу теории пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и подробные решения.

Пример.

Найти производную функции формула в точке формула, используя определение.

Решение.

Так как мы ищем производную функции в точке, то в ответе должно быть число. Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента и воспользуемся формулами тригонометрии:
формула

Осталось применить первый замечательный предел для получения конечного результата:
формула

Ответ:

формула

Пример.

Найдите производную функции формула на промежутке формула, пользуясь определением.

Решение.

Так как мы ищем производную функции на интервале, то в ответе должна получиться функция. Возьмем формула, где x – любое число из промежутка формула. По определению, производная есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при приращении аргумента, стремящемся к нулю:
формула

Таким образом, пришли к неопределенности. Для нахождения подобных пределов используют домножение на сопряженное выражение с последующим применением формул сокращенного умножения, приведением подобных слагаемых и сокращением:
формула

Ответ:

формула при формула.

Давайте еще остановимся на одном очень важном моменте: область определения функции f(x) далеко не всегда совпадает с областью определения производной. Заметьте, в предыдущем примере областью определения исходной функции является промежуток формула, а производная определена на интервале формула. Что мы хотим этим сказать. Да то, что при дифференцировании в идеале ответ звучит так: функция формула является производной функции f(x) на промежутке формула

На основании определения производной получены многие формулы таблицы производных основных элементарных функций, которые очень ускоряют дифференцирование. Понятие производной также используется при доказательстве правил дифференцирования.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+