Производная сложной функции.
Функции сложного вида не совсем корректно называть термином «сложная функция». К примеру, 
смотрится очень внушительно, но сложной эта функция не является, в отличие от 
.
В этой статье мы разберемся с понятием сложной функции, научимся выявлять ее в составе элементарных функций, дадим формулу нахождения ее производной и подробно рассмотрим решение характерных примеров.
При решении примеров будем постоянно использовать таблицу производных и правила дифференцирования, так что держите их перед глазами.
Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.
С нашей точки зрения, это определение наиболее понятно. Условно можно обозначать как f(g(x)). То есть, g(x) как бы аргумент функции f(g(x)).
К примеру, пусть f – функция арктангенса, а g(x) = lnx есть функция натурального логарифма, тогда сложная функция f(g(x)) представляет собой arctg(lnx). Еще пример: f – функция возведения в четвертую степень, а 
- целая рациональная функция (смотрите классификацию элементарных функций), тогда 
.
В свою очередь, g(x) также может быть сложной функцией. Например, 
. Условно такое выражение можно обозначить как 
. Здесь f – функция синуса, 
- функция извлечения квадратного корня, 
- дробная рациональная функция. Логично предположить, что степень вложенности функций может быть любым конечным натуральным числом 
.
Часто можно слышать, что сложную функцию называют композицией функций.
Формула нахождения производной сложной функции.
Пример.
Найти производную сложной функции 
.
Решение.
В данном примере f – функция возведения в квадрат, а g(x) = 2x+1 – линейная функция.
Вот подробное решение с использованием формулы производной сложной функции:
Давайте найдем эту производную, предварительно упростив вид исходной функции.
Следовательно,
Как видите, результаты совпадают.
Постарайтесь не путать, какая функция есть f, а какая g(x).
Поясним это примером на внимательность.
Пример.
Найти производные сложных функций 
и 
.
Решение.
В первом случае f – это функция возведения в квадрат, а g(x) – функция синуса, поэтому
.
Во втором случае f – это функция синуса, а 
- степенная функция. Следовательно, по формуле произведения сложной функции имеем
Формула производной для функции 
имеет вид
Пример.
Продифференцировать функцию 
.
Решение.
В этом примере сложную функцию можно условно записать как 
, где 
- функция синуса, функция возведения в третью степень, функция логарифмирования по основанию e, функция взятия арктангенса и линейная функция соответственно.
По формуле производной сложной функции
Теперь находим
-
как производную синуса из таблицы производных:
-
- как производную степенной функции:
-
- как производную логарифмической функции:
-
- как производную арктангенса:
-
При дифференцировании
выносим двойку за знак производной и применяем формулу производной степенной функции с показателем равным единице:
Собираем воедино полученные промежуточные результаты:
Страшного ничего нет, разбирайте сложные функции как матрешки.
На этом можно было бы и закончить статью, если бы ни одно но…
Желательно отчетливо понимать, когда применять правила дифференцирования и таблицу производных, а когда формулу производной сложной функции.
СЕЙЧАС БУДЬТЕ ОСОБЕННО ВНИМАТЕЛЬНЫ. Мы поговорим об отличии функций сложного вида от сложных функций. От того, насколько Вы видите это различие, и будет зависеть успех при нахождении производных.
Начнем с простых примеров. Функцию 
можно рассматривать как сложную: g(x) = tgx, 
. Следовательно, можно сразу применять формулу производной сложной функции
А вот функцию 
сложной уже назвать нельзя.
Эта функция представляет собой сумму трех функций 
, 3tgx и 1. Хотя - представляет собой сложную функцию: 
- степенная функция (квадратичная парабола), а f – функция тангенса. Поэтому, сначала применяем формулу дифференцирования суммы:
Осталось найти производную сложной функции 
:
Поэтому 
.
Надеемся, что суть Вы уловили.
Если смотреть более широко, то можно утверждать, что функции сложного вида могут входить в состав сложных функций и сложные функции могут быть составными частями функций сложного вида.
В качестве примера разберем по составным частям функцию 
.
Во-первых, это сложная функция, которую можно представить в виде 
, где f – функция логарифмирования по основанию 3, а g(x) есть сумма двух функций 
и 
. То есть, 
.
Во-вторых, займемся функцией h(x). Она представляет собой отношение 
к 
.
- это сумма двух функций 
и 
, где 
- сложная функция с числовым коэффициентом 3. 
- функция возведения в куб, 
- функция косинуса, 
- линейная функция.
- это сумма двух функций 
и 
, где 
- сложная функция, 
- функция экспоненцирования, 
- степенная функция.
Таким образом, 
.
В-третьих, переходим к 
, которая представляет собой произведение сложной функции 
и целой рациональной функции 
- функция возведения в квадрат, 
- функция логарифмирования по основанию e.
Следовательно, 
.
Подытожим:
Теперь структура функции понятна и стало видно, какие формулы и в какой последовательности применять при ее дифференцировании.
В разделе дифференцирование функции (нахождение производной) Вы можете ознакомиться с решением подобных задач.
Некогда разбираться?