Производная сложной функции.

Функции сложного вида не совсем корректно называть термином «сложная функция». К примеру, формула смотрится очень внушительно, но сложной эта функция не является, в отличие от формула.

В этой статье мы разберемся с понятием сложной функции, научимся выявлять ее в составе элементарных функций, дадим формулу нахождения ее производной и подробно рассмотрим решение характерных примеров.

При решении примеров будем постоянно использовать таблицу производных и правила дифференцирования, так что держите их перед глазами.

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.

С нашей точки зрения, это определение наиболее понятно. Условно можно обозначать как f(g(x)). То есть, g(x) как бы аргумент функции f(g(x)).

К примеру, пусть f – функция арктангенса, а g(x) = lnx есть функция натурального логарифма, тогда сложная функция f(g(x)) представляет собой arctg(lnx). Еще пример: f – функция возведения в четвертую степень, а формула - целая рациональная функция (смотрите классификацию элементарных функций), тогда формула.

В свою очередь, g(x) также может быть сложной функцией. Например, формула. Условно такое выражение можно обозначить как формула. Здесь f – функция синуса, формула - функция извлечения квадратного корня, формула - дробная рациональная функция. Логично предположить, что степень вложенности функций может быть любым конечным натуральным числом формула.

Часто можно слышать, что сложную функцию называют композицией функций.

Формула нахождения производной сложной функции.
формула производной сложной функции

Пример.

Найти производную сложной функции формула.

Решение.

В данном примере f – функция возведения в квадрат, а g(x) = 2x+1 – линейная функция.

Вот подробное решение с использованием формулы производной сложной функции:
формула

Давайте найдем эту производную, предварительно упростив вид исходной функции.
формула

Следовательно,
формула

Как видите, результаты совпадают.

Постарайтесь не путать, какая функция есть f, а какая g(x).

Поясним это примером на внимательность.

Пример.

Найти производные сложных функций формула и формула.

Решение.

В первом случае f – это функция возведения в квадрат, а g(x) – функция синуса, поэтому
формула.

Во втором случае f – это функция синуса, а формула - степенная функция. Следовательно, по формуле произведения сложной функции имеем
формула

Формула производной для функции формула имеет вид
формула

Пример.

Продифференцировать функцию формула.

Решение.

В этом примере сложную функцию можно условно записать как формула, где формула - функция синуса, функция возведения в третью степень, функция логарифмирования по основанию e, функция взятия арктангенса и линейная функция соответственно.

По формуле производной сложной функции
формула

Теперь находим

  1. формула как производную синуса из таблицы производных:
    формула
  2. формула - как производную степенной функции:
    формула
  3. формула - как производную логарифмической функции:
    формула
  4. формула - как производную арктангенса:
    формула
  5. При дифференцировании формула выносим двойку за знак производной и применяем формулу производной степенной функции с показателем равным единице:
    формула

Собираем воедино полученные промежуточные результаты:
формула

Страшного ничего нет, разбирайте сложные функции как матрешки.

На этом можно было бы и закончить статью, если бы ни одно но…

Желательно отчетливо понимать, когда применять правила дифференцирования и таблицу производных, а когда формулу производной сложной функции.

СЕЙЧАС БУДЬТЕ ОСОБЕННО ВНИМАТЕЛЬНЫ. Мы поговорим об отличии функций сложного вида от сложных функций. От того, насколько Вы видите это различие, и будет зависеть успех при нахождении производных.

Начнем с простых примеров. Функцию формула можно рассматривать как сложную: g(x) = tgx, формула. Следовательно, можно сразу применять формулу производной сложной функции
формула

А вот функцию формула сложной уже назвать нельзя.

Эта функция представляет собой сумму трех функций формула, 3tgx и 1. Хотя формула - представляет собой сложную функцию: формула - степенная функция (квадратичная парабола), а f – функция тангенса. Поэтому, сначала применяем формулу дифференцирования суммы:
формула

Осталось найти производную сложной функции формула:
формула

Поэтому формула.

Надеемся, что суть Вы уловили.

Если смотреть более широко, то можно утверждать, что функции сложного вида могут входить в состав сложных функций и сложные функции могут быть составными частями функций сложного вида.

В качестве примера разберем по составным частям функцию формула.

Во-первых, это сложная функция, которую можно представить в виде формула, где f – функция логарифмирования по основанию 3, а g(x) есть сумма двух функций формула и формула. То есть, формула.

Во-вторых, займемся функцией h(x). Она представляет собой отношение формула к формула.

формула - это сумма двух функций формула и формула, где формула - сложная функция с числовым коэффициентом 3. формула - функция возведения в куб, формула - функция косинуса, формула - линейная функция.

формула - это сумма двух функций формула и формула, где формула - сложная функция, формула - функция экспоненцирования, формула - степенная функция.

Таким образом, формула.

В-третьих, переходим к формула, которая представляет собой произведение сложной функции формула и целой рациональной функции формула

формула - функция возведения в квадрат, формула - функция логарифмирования по основанию e.

Следовательно, формула.

Подытожим:
формула

Теперь структура функции понятна и стало видно, какие формулы и в какой последовательности применять при ее дифференцировании.

В разделе дифференцирование функции (нахождение производной) Вы можете ознакомиться с решением подобных задач.

Профиль автора статьи в Google+