Метод Симпсона (парабол).
Задача нахождения точного значения определенного интеграла не всегда имеет решение. Действительно, первообразную подынтегральной функции во многих случаях не удается представить в виде элементарной функции. В этом случае мы не можем точно вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. Однако есть методы численного интегрирования, позволяющие получить значение определенного интеграла с требуемой степенью точности. Одним из таких методов является метод Симпсона (его еще называют методом парабол).
Сначала выясним смысл метода парабол, дадим графическую иллюстрацию и выведем формулу для вычисления приближенного значения интеграла. Далее запишем неравенство для оценки абсолютной погрешности метода Симпсона (парабол). Следом перейдем к решению характерных примеров, снабдим их подробными комментариями. В заключении сравним метод Симпсона с методом прямоугольников и методом трапеций.
Метод парабол (Симпсона) - суть метода, формула, оценка погрешности, иллюстрация.
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и нам требуется вычислить определенный интеграл 
.
Разобьем отрезок [a; b] на n элементарных отрезков 
длины 
точками 
. Пусть точки 
являются серединами отрезков соответственно. В этом случае все "узлы" определяются из равенства 
.
Суть метода парабол.
На каждом интервале подынтегральная функция приближается квадратичной параболой 
, проходящей через точки 
. Отсюда и название метода - метод парабол.
Это делается для того, чтобы в качестве приближенного значения определенного интеграла 
взять 
, который мы можем вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. В этом и заключается суть метода парабол.
Геометрически это выглядит так:
Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона).
Красной линией изображен график функции y=f(x), синей линией показано приближение графика функции y=f(x) квадратичными параболами на каждом элементарном отрезке разбиения.
Вывод формулы метода Симпсона (парабол).
В силу пятого свойства определенного интеграла имеем 
.
Для получения формулы метода парабол (Симпсона) нам осталось вычислить .
Пусть 
(мы всегда можем к этому прийти, проведя соответствующее геометрическое преобразования сдвига для любого i = 1, 2, ..., n).
Сделаем чертеж.
Покажем, что через точки проходит только одна квадратичная парабола . Другими словами, докажем, что коэффициенты 
определяются единственным образом.
Так как - точки параболы, то справедливо каждое из уравнений системы
Записанная система уравнений есть система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных переменных . Определителем основной матрицы этой системы уравнений является определитель Вандермонда 
, а он отличен от нуля для несовпадающих точек 
. Это указывает на то, что система уравнений имеет единственное решение (об этом говорится в статье решение систем линейных алгебраических уравнений), то есть, коэффициенты 
определяются единственным образом, и через точки проходит единственная квадратичная парабола.
Перейдем к нахождению интеграла .
Очевидно:
Используем эти равенства, чтобы осуществить последний переход в следующей цепочке равенств:
Таким образом, можно получить формулу метода парабол:
Формула метода Симпсона (парабол) имеет вид
.
Оценка абсолютной погрешности метода Симпсона.
Абсолютная погрешность метода Симпсона оценивается как 
.
Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом Симпсона (парабол).
Разберем применение метода Симпсона (парабол) при приближенном вычислении определенных интегралов.
Обычно встречается два типа заданий:
- В первом случае требуется приближенно вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона для заданного n.
-
Во втором случае просят найти приближенное значение определенного интеграла методом Симпсона (парабол) с точностью
(к примеру, с точностью до одной тысячной).
Возникает логичный вопрос: "С какой степенью точности проводить промежуточные вычисления"?
Ответ прост - точность промежуточных вычислений должна быть достаточной. Промежуточные вычисления следует проводить с точностью на 3-4 порядка выше, чем порядок . Также точность промежуточных вычислений зависит от числа n - чем больше n, тем точнее следует проводить промежуточные вычисления.
Пример.
Вычислите определенный интеграл 
методом Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 5 частей.
Решение.
Из условия мы знаем, что a = 0; b = 5; n = 5; 
.
Формула метода Симпсона (парабол) имеет вид 
. Для ее применения нам требуется вычислить шаг 
, определить узлы и вычислить соответствующие значения подынтегральной функции 
.
Промежуточные вычисления будем проводить с точностью до четырех знаков (округлять на пятом знаке).
Итак, вычисляем шаг 
.
Переходим к узлам и значениям функции в них:
Для наглядности и удобства результаты сведем в таблицу:
Подставляем полученные результаты в формулу метода парабол:
Мы специально взяли определенный интеграл, который можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница, чтобы сравнить результаты.
Результаты совпадают с точностью до сотых.
Пример.
Вычислите определенный интеграл 
методом Симпсона с точностью до 0.001.
Решение.
В нашем примере a = 0, 
.
Первым делом нам нужно определить n. Для этого обратимся к неравенству для оценки абсолютной погрешности метода Симпсона . Можно сказать, что если мы найдем n, для которого будет выполняться неравенство 
, то при использовании метода парабол для вычисления исходного определенного интеграла абсолютная погрешность не превысит 0.001. Последнее неравенство можно переписать в виде 
.
Выясним, какое наибольшее значение принимает модуль четвертой производной подынтегральной функции на отрезке интегрирования.
Область значений функции 
есть интервал 
, а отрезок интегрирования 
содержит точки экстремума, поэтому 
.
Подставляем найденное значение в неравенство и решим его:
Так как n является натуральным числом (это же количество отрезков, на которые разбивается отрезок интегрирования), то можно брать n = 5, 6, 7, … Чтобы не делать лишних вычислений, возьмем n = 5.
Теперь действуем как в предыдущем примере. В промежуточных вычислениях округление будем проводить на шестом порядке.
Вычисляем шаг 
.
Находим узлы и значения подынтегральной функции в них:
Результаты вычислений объединяем в таблицу:
Подставляем значения в формулу метода парабол:
Таким образом, по методу Симпсона получено приближенное значение определенного интеграла 
с точностью до 0.001.
Действительно, вычислив исходный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, получаем
Замечание.
Нахождение 
во многих случаях затруднительно. Можно обойтись без этого, применив альтернативный подход к использованию метода парабол. Его принцип описан в разделе метод трапеций, так что не будем повторяться.
Какой же метод применять при численном интегрировании?
Точность метода Симпсона (парабол) выше точности метода прямоугольников и трапеций для заданного n (это видно из оценки абсолютной погрешности), так что его использование предпочтительнее.
Следует помнить о влиянии вычислительной погрешности на результат при больших n, что может отдалить приближенное значение от точного.
Некогда разбираться?