Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой.
При выяснении геометрического смысла определенного интеграла, мы получили формулу для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, прямыми x=a, x=b и непрерывной неотрицательной (неположительной) функцией y=f(x). В некоторых случаях функцию, которая ограничивает фигуру, удобно задать в параметрическом виде, то есть, представить функциональную зависимость через параметр t. В этой статье мы разберемся, как находить площадь фигуры в случае параметрического задания ограничивающей кривой.
После краткого обзора теории и вывода формулы, мы подробно рассмотрим решение характерных примеров на нахождение площади фигуры, ограниченной параметрически заданной линией.
Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной параметрически заданной линией.
Пусть границами криволинейной трапеции являются прямые x=a, x=b, ось абсцисс и параметрически заданная кривая 
, причем функции 
и 
непрерывны на интервале 
, монотонно возрастает на нем и 
.
Тогда площадь криволинейной трапеции находится по формуле 
.
Эта формула получается из формулы площади криволинейной трапеции 
подстановкой :
Если функция является монотонно убывающей на интервале 
, то формула примет вид 
.
Если функция не является основной элементарной, то для выяснения ее возрастания или убывания может потребоваться теория из раздела возрастание и убывание функции на интервале.
Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой.
Рассмотрим примеры применения полученной формулы, позволяющей вычислять площади фигур, ограниченных параметрически заданными линиями.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, параметрические уравнения которой имеют вид 
.
Решение.
В нашем примере параметрически заданная линия представляет собой эллипс с полуосями 2 и 3 единицы. Построим его.
Найдем площадь четверти эллипса, расположенной в первом квадранте. Эта область лежит в интервале 
. Площадь всей фигуры вычислим, умножив полученное значение на четыре.
Что мы имеем:
Для k = 0 получаем интервал 
. На этом интервале функция 
монотонно убывающая (смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). Применяем формулу для вычисления площади и определенный интеграл находим по формуле Ньютона-Лейбница:
Таким образом, площадь исходной фигуры равна 
.
Замечание.
Возникает логичный вопрос: почему мы брали четверть эллипса, а не половину? Можно было рассмотреть верхнюю (или нижнюю) половину фигуры. Она находится на интервале 
. Для этого случая мы бы получили
То есть, для k = 0 получаем интервал 
. На этом интервале функция монотонно убывающая.
Тогда площадь половины эллипса находится как
А вот правую или левую половины эллипса взять не получится.
Параметрическое представление эллипса с центром в начале координат и полуосями a и b имеет вид 
. Если действовать так же, как и в разобранном примере, то получим формулу для вычисления площади эллипса 
.
Окружность с центром в начале координат радиуса R через параметр t задается системой уравнений 
. Если воспользоваться полученной формулой площади эллипса, то сразу можно записать формулу для нахождения площади круга радиуса R: 
.
Решим еще один пример.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически 
.
Решение.
Забегая немного вперед, кривая является «вытянутой» астроидой. (Астроида имеет следующее параметрическое представление 
).
Остановимся подробно на построении кривой, ограничивающей фигуру. Строить ее мы будем по точкам. Обычно такого построения достаточно для решения большинства задач. В более сложных случаях, несомненно, потребуется детальное исследование параметрически заданной функции с помощью дифференциального исчисления.
В нашем примере 
.
Эти функции определены для всех действительных значений параметра t, причем, из свойств синуса и косинуса мы знаем, что они периодические с периодом два пи. Таким образом, вычисляя значения функций 
для некоторых 
(например 
), получим набор точек 
.
Для удобства занесем значения в таблицу:
Отмечаем точки на плоскости и ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО соединяем их линией.
Вычислим площадь области, расположенной в первой координатной четверти. Для этой области 
.
При k=0 получаем интервал 
, на котором функция 
монотонно убывает. Применяем формулу для нахождения площади:
Полученные определенные интегралы вычислим по формуле Ньютона-Лейбница, а первообразные для формулы Ньютона-Лейбница найдем с помощью рекуррентной формулы вида 
, где 
.
Следовательно, площадь четверти фигуры равна 
, тогда площадь всей фигуры равна 
.
Аналогично можно показать, что площадь астроиды находится как 
, а площадь фигуры, ограниченной линией 
, вычисляется по формуле 
.
Некогда разбираться?