Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Среди обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка существуют такие, в которых возможно переменные x и y разнести по разные стороны знака равенства. В уравнениях вида 
переменные уже разделены, а в ОДУ 
переменные разделяются посредством преобразований. Кроме того, некоторые дифференциальные уравнения сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными после введения новых переменных.
В этой статье сначала рассмотрим метод решения уравнений с разделенными переменными, далее перейдем к уравнениям с разделяющимися переменными и закончим дифференциальными уравнениями, сводящимися к уравнениям с разделяющимися переменными. Для пояснения теории будем подробно разбирать решения характерных примеров и задач.
При необходимости обращайтесь к разделу основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.
- Дифференциальные уравнения с разделенными переменными .
- Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными .
- Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными
, a ≠ 0, b ≠ 0. - Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными
или 
. - Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными
.
Дифференциальные уравнения с разделенными переменными .
Дифференциальные уравнения называют уравнениями с разделенными переменными.
Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него.
Будем считать, что функции f(y) и g(x) непрерывны.
Общим интегралом уравнения с разделенными переменными является равенство 
. Если интегралы из этого равенства выражаются в элементарных функциях, то мы можем получить общее решение дифференциального уравнения как неявно заданную функцию Ф(x, y) = 0, а иногда получается выразить функцию y в явном виде.
Пример.
Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделенными переменными 
.
Решение.
Проинтегрируем обе части равенства: 
. По сути, мы уже получили общее решение исходного дифференциального уравнения, так как свели задачу решения дифференциального уравнения к уже известной задаче нахождения неопределенных интегралов. Однако, эти неопределенные интегралы выражаются в элементарных функциях, и мы можем взять их, используя таблицу первообразных:
где С1 и С2 – произвольные постоянные.
Мы пришли к неявно заданной функции 
, которая является общим решением исходного дифференциального уравнения с разделенными переменными. Ответ можно оставить в таком виде. Но в нашем случае искомую функцию y можно выразить явно через аргумент x. Итак, 
, где 
. То есть, функция 
является общим решением исходного дифференциального уравнения.
Замечание.
Ответ можно записать в любом из трех видов или , или . Но имейте в виду, что многие преподаватели наряду с Вашим умением решать дифференциальные уравнения хотят также проверить умение брать интегралы и преобразовывать выражения. Так что, если есть возможность, старайтесь ответ давать в виде явной функции y или в виде неявно заданной функции Ф(x, y) = 0.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными .
Прежде чем продолжить, напомним, что 
когда y является функцией аргумента x.
В дифференциальных уравнениях или 
переменные могут быть разделены, проведением преобразований. Такие ОДУ называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Соответствующее ДУ с разделенными переменными запишется как 
.
При разделении переменных следует быть очень внимательными, чтобы проводимые преобразования были эквивалентными (чтобы f2(y) и g1(x) не обращались в ноль на интервале интегрирования). В противном случае можно потерять некоторые решения. Разберемся с этим на примере.
Пример.
Найти все решения дифференциального уравнения 
.
Решение.
Это уравнение с разделяющимися переменными, так как мы можем разделить x и y:
Для нулевой функции y исходное уравнение обращается в тождество 
, поэтому, y = 0 является решением дифференциального уравнения. Это решение мы могли упустить из виду.
Проинтегрируем дифференциальное уравнение с разделенными переменными 
:
В преобразованиях мы заменили C2 - C1 на С.
Мы получили решение ДУ в виде неявно заданной функции 
. На этом можно закончить. Однако в нашем случае функцию y можно выразить явно, проведя потенцирование полученного равенства:
Ответ:
.
Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными , a ≠ 0, b ≠ 0.
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка вида , a ≠ 0, b ≠ 0 приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными введением новой переменной z = ax + by, где z представляет собой функцию аргумента x.
В этом случае
После подстановки в исходное уравнение и небольших преобразований приходим к уравнению с разделенными переменными
Рассмотрим пример.
Пример.
Найдите общее решение дифференциального уравнения 
и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = e.
Решение.
Пусть z = 2x + y, тогда
Подставим полученные результаты в исходное уравнение и преобразуем его к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными:
Разделяем переменные и интегрируем обе части равенства 
. Интеграл в левой части найдем методом интегрирования по частям, а интеграл в правой части является табличным:
Следовательно, 
. Если принять C = C2 - C1 и сделать обратную замену z = 2x + y, то получим общее решение дифференциального уравнения в виде неявно заданной функции: 
.
Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = e. Для этого подставляем x = 0 и y(0) = e в общее решение дифференциального уравнения и находим значение константы С:
Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее условию y(0) = e, имеет вид 
.
Замечание.
В условии задачи ничего не сказано об интервале, на котором требуется найти общее решение дифференциального уравнения. В таких случаях решение проводится для всех значений аргумента x, при которых исходное дифференциальное уравнение и его решения имеют смысл. Для данного примера дифференциальное уравнение имеет смысл при 
.
Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными или .
Дифференциальные уравнения вида или могут быть сведены к ОДУ с разделяющимися переменными, если произвести замену 
или 
, где z – функция аргумента x.
Если , то 
и по правилу дифференцирвания дроби 
. В этом случае уравнения примут вид 
или 
.
Если принять , то y = x ⋅ z и по правилу производной произведения 
. В этому случае уравнения сведутся к 
или 
.
Пример.
Решите дифференциальное уравнение 
.
Решение.
Примем , тогда 
. Подставим в исходное уравнение:
Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем его.
После обратной замены получаем общее решение исходного дифференциального уравнения в виде неявно заданной функции 
.
Следует остановиться на дифференциальных уравнениях вида
.
Делением числителя и знаменателя правой части на yn или xn такие дифференциальные уравнения приводятся к виду или .
Пример.
Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
Решение.
В этом примере x и y отличны от нуля. Разделим и числитель и знаменатель правой части равенства на x2:
Введем новую переменную , тогда .
Подставляем в исходное уравнение
Получили дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Решаем его
В этом примере можно получить решение и в явном виде. Для этого примем 
и воспользуемся свойствами логарифма:
Осталось сделать обратную замену y = x ⋅ z и записать ответ 
. Это общее решение дифференциального уравнения.
Замечание: это уравнение (как и другие подобного типа) можно решить и используя замену .
Опишем решение для этой замены.
Разделим и числитель и знаменатель на y2:
Пусть , тогда 
.
Подставляем все в исходное уравнение и получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными 
. После разделения переменных приходим к равенству 
. Интегрируем его 
Возьмем сначала интеграл 
. После разложения на простейшие дроби подынтегральной функции интеграл примет вид 
. Теперь проведем интегрирование простейших дробей:
Теперь найдем интеграл 
:
В итоге имеем 
или 
, где 
.
После проведения обратной замены и некоторых преобразований придем к тому же результату .
Сделаем вывод. В этом примере при замене решение оказалось более трудоемким, чем при замене . Для себя можно отметить, что если решение дифференциального уравнения или оказывается сложным при выбранной замене , то можно попробовать ввести другую переменную, то есть .
Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения 
можно свести к уравнениям или , следовательно, к уравнениям с разделяющимися переменными. Для этого находится (x0 , y0) - решение системы двух линейных однородных уравнений 
и вводятся новые переменные 
. После такой замены уравнение примет вид 
.
Разберемся на примере.
Пример.
Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
Решение.
Составляем и решаем систему линейных уравнений
Делаем замену переменных
После подстановки в исходное уравнение получаем 
. После деления на u числителя и знаменателя правой части имеем 
.
Вводим новую переменную 
, тогда
Возвращаемся к исходным переменным, производя обратную замену 
:
Это есть общее решение дифференциального уравнения.
Список литературы.
- Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
Некогда разбираться?