Помощь в написании работ

Метод математической индукции.


Одним из самых важных методов математических доказательств по праву является метод математической индукции. Подавляющее большинство формул, относящихся ко всем натуральным числам n, могут быть доказаны методом математической индукции (к примеру, формула суммы n первых членов арифметической прогрессии формула, формула бинома Ньютона формула и т.п.).

В этой статье сначала остановимся на основных понятиях, далее рассмотрим сам метод математической индукции и разберем примеры его применения при доказательстве равенств и неравенств.


Индукция и дедукция.

Индукцией называют переход от частных утверждений к общим. Напротив, переход от общих утверждений к частным называется дедукцией.

Пример частного утверждения: 254 делится на 2 без остатка.

Из этого частного утверждения можно сформулировать массу более общих утверждений, причем как истинных так и ложных. К примеру, более общее утверждение, что все целые числа, оканчивающиеся четверкой, делятся на 2 без остатка, является истинным, а утверждение, что все трехзначные числа делятся на 2 без остатка, является ложным.

Таким образом, индукция позволяет получить множество общих утверждений на основе известных или очевидных фактов. А метод математической индукции призван определить справедливость полученных утверждений.

В качестве примера, рассмотрим числовую последовательность: формула, n – произвольное натуральное число. Тогда последовательность сумм первых n элементов этой последовательности будет следующая
формула

Исходя из этого факта, по индукции можно утверждать, что формула.

Доказательство этой формулы приведем чуть ниже.

Метод математической индукции.


В основе метода математической индукции лежит принцип математической индукции.

Он заключается в следующем: некоторое утверждение справедливо для всякого натурального n, если

  1. оно справедливо для n = 1 и
  2. из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального n = k следует его справедливость для n = k+1.

То есть, доказательство по методу математической индукции проводится в три этапа:

  1. во-первых, проверятся справедливость утверждения для любого натурального числа n (обычно проверку делают для n = 1);
  2. во-вторых, предполагается справедливость утверждения при любом натуральном n=k;
  3. в-третьих, доказывается справедливость утверждения для числа n=k+1, отталкиваясь от предположения второго пункта.

Примеры доказательств уравнений и неравенств методом математической индукции.

Вернемся к предыдущему примеру и докажем формулу формула.

Доказательство.

Метод математической индукции предполагает доказательство в три пункта.

Поехали!

  1. Проверим равенство для n = 1. Имеем формула. Это равенство верное.
  2. Предположим, что формула есть справедливая формула.
  3. Докажем, что формула отталкиваясь от справедливого равенства из второго пункта.

    Сумма k+1 первых членов последовательности представляется как сумма первых k членов исходной числовой последовательности и k+1 ого члена:
    формула

    Так как формула из второго пункта, то
    формула

    Осталось привести дроби к общему знаменателю, привести подобные слагаемые, воспользоваться формулой сокращенного умножения квадрат суммы и произвести сокращение:
    формула

    Следовательно, доказано равенство третьего пункта.

Таким образом, выполнены все три шага метода математической индукции и тем самым доказано наше предположение о формуле формула.

Давайте рассмотрим тригонометрическую задачу.

Пример.

Докажите тождество формула.

Решение.

Во-первых, проверяем справедливость равенства при n = 1. Для этого нам понадобятся основные формулы тригонометрии.
формула

То есть, равенство верно для n = 1.

Во-вторых, предположим, что равенство верно для n = k, то есть справедливо тождество
формула

В-третьих, переходим к доказательству равенства формула для n = k+1, основываясь на втором пункте.
формула

Так как по формуле из тригонометрии
формула
то
формула

Доказательство равенства из третьего пункта завершено, следовательно, исходное тождество доказано методом математической индукции.

Формула бинома Ньютона может быть доказана методом математической индукции.

Пример доказательства неравенства методом математической индукции можете посмотреть в разделе метод наименьших квадратов при выводе формул для нахождения коэффициентов аппроксимации.

Список литературы.

  • Соминский И.С., Головина Л.И., Яглом И.М. О математической индукции.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+